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Annales des Mines (1897, série 9, volume 12)

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permanent, qui est

second. On trouve ainsi sans difficulté 4 sin nX =Voy cos 11X e-3frett 2nX ± sin 2nX 1 sin nX eeeti) cos nx (I 2nX + sin 2nX

V-0= v 4 sin

f

f

1

L.12nX+sin2nXIeht-ti cos nxe-kiet le-ba(t1--TY

(A)

f

sin nX.

2nX + sin 2nX -E4.

ti 0

309,

ACTION DES PAROIS

308 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA MACHINE A VAPEUR

V.

d°e k":2(i

Pendant le régime variable, l'état de la paroi

La loi de formation des valeurs successives de V a.ppa-

n'est pas le même au commencement et à la fin d'un tour..

rait clairement. Rien n'est plus facile que de démontrer que, si la loi est vraie pour la valeur V d'ordre p, elle l'est aussi pour la valeur V d'ordre p 1. On a donc :

Par suite, la paroi prend ou abandonne à la vapeur une certaine quantité de calorique. Il n'en est plus de même lorsque le régime permanent est établi, et alors, dans la durée d'un tour, la quantité de chaleur cédée par la vapeur

Vp

4 sin nX

= vo

11Vcos x

2nX + sin 2nX sin nX cos nx (1+ e-h«Oti 2nXi sin2nX

à la paroi est intégralement restituée par la paroi à la

e-

y4

e(Poketi)

vapeur. On doit donc avoir, T étant la valeur de V sur la surface intérieure, c'est-à-dire pour x = X: 0) dt = o.

(T

(a) 0

et l'état permanent s'obtient en faisant p = . On voit qu'alors le premier terme, en Vo, disparaît, ce qui, physiquement, signifie que l'état initial, essentiellement passager, n'exerce aucune influence sur le cours final du phénomène, et était aisé à prévoir. Quant au second terme, la série exponentielle, qui y entre comme facteur, a pour somme I 1 ___

-

pour p = G°.

Nous avons donc pour l'état initial de la paroi en régime permanent : F (x) =

4 sin nX L.J2nX ± sin 2nX

e-

COS 77,X

f

Dans le cas (qui d'ailleurs se produit toujours en pratique) on la paroi extérieure échangerait une; certaine quantité, E, de chaleur avec une source extérieure, air ambiant ou enveloppe de vapeur, la relation ci-dessus se transformerait- en la suivante

Cette relation nous permet d'écrire iimnédiatement

E.

Ce cas général sera, du reste, traité plus loin. Pour en revenir à l'équation (A), elle doit satisfaire à la condition (a) , et il est intéressant d'en faire la -vérification.

Faisons dans (A) x _=-. X, et prenons l'intégrale de o à tp On doit avoir

v 0-

l'équation générale du mouvement de la chaleur en régime

dt

fth'0 (T

ti

2 sin 2nX

rhLi 29:ii.X.x2 +si

T)f e

x29 n X 1 rit 72X

0

0

jo

"

'd t,