Annales des Mines (1874, série 7, volume 5) [Image 79]

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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.

S, au moyen de deux plans parallèles au plan P, les actions attractives produiront deux résultantes R, et 1.1, dirigées

l'une et l'autre selon l'axe même du cylindre, que nous supposerons vertical et invariablement lié aux surfaces S1, S,. En raison de la symétrie, toute autre composante doit évidemment disparaître ; les résultantes R B, sont d'ailleurs identiques, au signe près, si l'on admet, comme nous le ferons, que les actions et les réactions soient constamment égales. Aucune de ces conclusions ne sera modifiée si l'on

a affaire à deux surfaces cylindriques indéfinies quant à

leur étendue de part et d'autre de leur base commune, pourvu que la distance 1, à laquelle les actions attractives cessent de s'exercer soit définie ; c'est ce dernier cas que nous allons soumettre à l'analyse. Soient In et n 'les centres de deux éléments superficiels appartenant respectivement aux surfaes S, et S M et N les projections de ces points sur la ligne de contact ou de séparation des deux surfaces. Menons, dans le plan MmNn, Mn' et Nin' parallèle à .mn. Concevons, d'autre part, au point M trois axes Mx, My, Mz ; le premier, tangentiel -à la ligne de contact ; le second, vertical, et le troisième, normal aux deux autres et par suite aux surfaces S, et S L'ac-

ticale identique. Une première intégration, par l'apport à y, permet de réunir toutes ces composantes en une seule dont la valeur est F,

Y'

do-dx.

Tous les éléments linéaires tels que dx donneraient lieu à une composante identique ; de là, pour l'étendue entière TcD de la ligne de contact un ensemble de forces qui s'ajou-

tent et produisent une résultante unique exprimée par l'équation

F,

Y' 1-.1D11 (X)

ment, avec cette seule différence- qu'il faudrait attribuer aux divers éléments d7 une densité proportionnelle à leur distance Y à la ligne de contact. Supposons d'abord que le rayon d'activité des forces attractives soit tout au plus

égal à D ; nous aurons, en désignant par R le rapport c'est-à-dire la résultante rapportée à l'unité linéaire, et

7cD'

composante verticale F dont la valeur peut s'exprimer ainsi qu'il suit

en introduisant le système 0,, p., z) ,

Y

11 (),) dudxdy,

R

(X)

e) sin' il sin' p. cos' p.

0

en désignant par (x, y) les coordonnées du point In, par la distance mn = Mn`= Nmi, par Y l'ordonnée Mm'= Nn` " et par da. l'étendue de l'un ou l'autre des éléments superficiels n, n'. Si l'on donne aux points nt et n toutes les positions possibles sur les lignes Mm', Nn,', mais de telle manière que demeure invariable, on aura toujours uue composante ver-

cla,

Nous sommes ainsi ramené, après deux intégrations, au cas déjà traité de l'action d'une portion de surface sur un élé-

tion réciproque des éléments m et n donnera lieu à une

F=

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D2

dXd