Annales des Mines (1897, série 9, volume 12) [Image 161]

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VAPEUR 314 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA MACHINE A

Le facteur entre parenthèSes dans

f1ti

9) di est

Pour.nous trouver exactement dans les conditions réelles de la pratique, il faut que nous supposions enfin qu'il y a échange de chaleur entre la Surface extérieure de la paroi et le milieu ambiant. En régime permanent, la quantité de chaleur ainsi échangée est constante partir du pour chaque révolution ; par conséquent, périodiques point A (fig . 2), où les variations intérieures courbe des de la température ne se font plus sentir, la une droite AA' dont températures est représentée par le flux de chaleur de ou vers l'inclinaison est telle que l'extérieur est :IE. p. L'ordonnée de cette droite pour Un point situé à la profondeur x est, en appelant e la disVII.

tance OA, et K le coefficient de conductibilité : P

r

calcul Dans les paragraphes précédents nous avons qu'au début Li l'état permanent initial F (x) en admettant température de la paroi est constante et égale à V0, V, est la V, étant arbitraire. On peut donc supposer que néglitempérature toujours invariable du point A et, en geant le flux de chaleur vers l'extérieur, nous n'avon-, pas tenu compte d'un terme qui a pour expression E COS nxdx, 0

et dont la valeur est

f

-a (e

a..) cos nxdx

e étant ordinairement voisin de X, on peut poser e = X. Dans le second membré de l'intégrale générale (A'), il faudrait donc ajouter le terme suivant

donc nul, et la condition estvérifiée.

E

315

ACTION DES PAROIS

CeI

K

COS ne

p v 4(1

coS /iX)

n (QnX + sin 2nX)

cos

hot.

Il y a lieu de remarquer que le raisonnement ci-dessus n'est pas tout à fait exact et que, par suite, l'équation qui en résulte .n'est qu'approchée.: 1° parce qu'on a supposé implicitement que la température constante V, du point A restait la même, qu'il y eût ou non échange extérieur de chaleur ; 2° parce que l'équation obtenue implique que l'état des températures représenté par la droite AA' ne se conserve pas pendant la durée d'une révolution, mais se rapproche de OA. Il est d'ailleurs facile de reconnaître que l'intégrale (4) n'est applicable, d'une manière entièrement exacte, à un mouvement périodique tel que celui .que nous avons à considérer dans les machines à vapeur, mouvement qui n'est réalisé qu'après un grand nombre

de révolutions, que si la température du mur, dans la partie où celui-ci est soustrait aux fluctuations de la source, est constante en tous les points. Pour avoir une équation applicable au cas, d'ailleurs général, où il y a flux de chaleur de ou vers l'extérieur, il faut résoudre un problème analytique beaucoup plus compliqué que celui que nous avons posé pour établir l'in-

tégrale (4). Ce problème est le suivant : Étant donné un mur d'épaisseur X, les autres dimensions étant infinies; dont la température initiale est une fonction donnée F(x), chauffé sur une des faces par une source de chaleur à température 9 variable avec le temps et dont l'autre face conserve une température arbitraire et constante, A, F(o), déterminer l'état du mur au bout d'un temps 1. Pour résoudre ce problème, aux trois conditions (1), (2)