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318 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA MACHINE A VAPEUR
simple et -vraiment pratique. Il n'en est rien cependant, et nous allons voir qu'on déduit de ces formules des conclusions d'une simplicité surprenante. Nous nous servirons dans ce qui suit des intégrales (A),
beaucoup plus simples que les intégrales (B) et qui suffisent pour la solution du problème dans le cas, de beaucoup le plus fréquent, où le cylindre n'est Pas réchauffé extérieurement par une enveloppe de vapeur ou autrement, mais est simplement muni d'une enveloppe isolante.
La température 0 de la vapeur est connue par un diagramme théorique ou expérimental. On augmenterait beaucoup la complication en cherchant à exprimer 0 par une fonction algébrique, dans le but de calculer les intégrales définies qui se trouvent dans nos équations. Pour tourner la difficulté, nous remplacerons le diagramme 0 par une série de droites formant une ligne brisée. Il est d'ailleurs évident qu'en augmentant indéfiniment le noinbrg de côtés de cette ligne brisée on se rapprochera autant qu'on
le voudra du diagramme vrai, et la rigueur ne perd rien à cette substitution. Nous allons donc effectuer les intégrations dans le cas d'un diagrainme polygonal. Considérons l'équation (A); en y faisant x =_- X, nous aurons la température T sur la surface intérieure des parois-couvercle (fond de cylindre
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ACTION DES PAROIS
Nous nous proposons plus spécialement, tout d'abord, de calculer la chaleur échangée pendant l'admission. Il suffit alors de connaître T 0 pendant cette phase. On
remarque que, si la température de la vapeur restait constante pendant l'admission, le second terme de l'expression ci-dessus serait rigoureusement nul. En réalité, cette
température varie légèrement, et le terme en question est petit. Nous en tiendrons compte plus loin et nous nous bornerons d'abord à étudier la quantité U U
v 2 sin 2nX
-Z7,121
.Z-J2nX ± sin 2nX 1
e
-
keti fo
Cherchons l'intégrale définie en partant d'un-diagramme polygonal. En appelant id, III, I", 4", etc., les temps correspondant aux sommets du polygone, on peut poser
f
(70
) d,
f
t.
dO
e-
dr
c,
T)
d, /V
+f... +I"... +f...+... +J..., fut/
a
et chacune des intégrales du second membre est facile à dO
est
et surface du piston), qui restent constamment exposées à
calculer puisque, entre deux limites consécutives,
la source de chaleur O. Il est clair que, si on parvient à trouver la valeur. de T, on en déduira aisément la quantité de chaleur échangée pendant une durée quelconque
constant et égalt'à : .en t'appelant O' la tempéra-
t" t' par la quadrature
f(T t'
0)dt.
ture- du sommet du polygone correspondant au temps I,. On aura donc ftàoe - k11.2(e, -z)
Nous déduisons donc de (A)
7o=
2 sin 2nX [ 2nXI-sin2nX
e-
t
fit o
-1;11-(1, t)+.
doe-kn,(t-,)
Oi+
t'± 1
Oi
1)
1m2
e
fru'
(1,ti)o
cette somme devant s'étendre à tout le diagramme polygonal.
