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3 en accord avec la formule (8) de la Note 76. On peut également mettre en évidence le role des polynômes de Bernoulli! en partant de leur fonction génératrice tefcX/(et-l) = £ B (x) t"/n \ Loi de (y/x) Par un changement de variable immédiat, on déduit de (?) que la variable e^ = (y/x) admet la densité : (4) f(x) = TT ^ SX, ïï X I (y/*^ +■ _ On reconnaît une loi de Cauchy tronauée.La variable T = r-- : ' > tv U CA possède en effet la densité U. —2—- pour t > tg /]T -dt? \ (et 0 ailleurs) Loi de Y/X Posant enfin Z = Y/X , on déduit de (4) que le rapport Y/X de deux variables stables admet la densité : r \ / \ -» a ^ li (5) f(z) = —; ^ 77 -4 ■+■ 3 ^ coi (<-n- +■ £ r Nous avons donné dans la Note 76 , formule 12, l'expression de la transformée de Laplace de f(z), quiX est M ( TT) > M(z) désignant la fonction classique c\ ON de Hittagr-Leffler. On peut d'ailleurs retrouver ce résultat comme suit : si X A* est une variable stable de loi e ,1a variable associée *l/X (dont la loi donne la probabilité d'absorption dans le processus à accroissements indépendants et stationnaires engendré par e~ ) admet classiquement la h < • fonction M(^) comme transformée de Laplace : ► (6) e i ] x maU\ -7777,^ ^ VA ^ (-1V : t On tetrouve d'ailleurs sans peine cette relation (6) en partant de la formule (3) de la Note 76. Si maintenant Y et X sont deux variables indépendantes de même -Is* loi e , on a à X = x fixé : ■XV/ - e r * y/M -- e « D'où: lorsque X redevient aléatoire :
