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5 On résoud ce problème, au moins théoriquement, en poissonnisant. Si les germes relèvent d'un schéma poissonien de densité ô , la prohabilité pour que le segment soit couvert est, par définition , <L - G (f ) , c'est à dire la granulo- W métrie booléenne. Si donc P(f) désigne la probabilité que nous cherchons, nous identiquement : (7) 1 C.(f)

ê z. n

Si donc on sait former l'expression 1 - G^( P) de la solution de (4), et développer en Q le produit e "1* - v f >1 f la relation (7) permettra le calcul de la probabilité P ( f ) de recouvrement. v. ^ ^ Application. Traitons le cas classique où les n+1 segments ont tous la même longueur a ( «s £) . On al - F(x) =<L pour xha et 0 pour x>a , d'où : Tj(h) = h si h C a, et a si h > a .On en tire : <x RU ) -- «4-7 A 6 cK + A + Q e

A ( Xi-Ô) e f -Ah e a La relation (4) donnealors (8) d-P(Xl A 1 - 6

A t- ô e

> Vlli-UV/ J. ill' fl - G(f) "J transformée transformée en remplaçant A par A A , ce qui donne 1. P(\-Ù\ A-ô . " -AA -1- e A a(Vë h-d> Ainsi X Q) r»l admet la transformée ys

uniforme sur (0,a), la transformée de f est ^-<5 Mr O rAA (9) - >1 * a -1+ A ô 1-J3 A -Aa

Si £*(x) est la densité <l/a A • On a donc 4L m On retrouve ainsi un résultat classique( cf." Peller,Vol.II,If9fll, et XIV,2,EX.a, où cet auteur utilise une méthode de poissonisation qui ne diffère pas substantiel¬ lement de la notre.} "■* ^ *** u i% t* i fl 6*3 — r —«r yr • • *

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