.NTA5MA.MjU5MDkz

" i *~ * * *■ -, » • * • <* . * 11 En effet, la condition relative à l'espérance entraine Cô^ = - a.. V e et , -S. 4,=e Il n'en résulte d'ailleurs pas que ces lois sont indéfiniment divisibles, mais la démonstration du-critère 1 reste valable. Dans la Ko te 76, nous avons obtenu un critère apparenté : l'indépendance de X/(X+Y) et de X+Y . Celle-ci entraine évidemment la propriété b du critère 2 jNous voyons que îa réciproque est vrai e : la seule nypotnese que •» conditionnelles de X/(X+Y) et de Ji\/(X+Y) J ne dépendent pas de z entraine 1T indépendance stochastique des variables X/(X+Y) et X-r Y , et suffit à

caractériser la loi gamma. 52 Cas des lois stables. Examinons maintenant le cas des lois stables, c'est à dire 4>0>) <*' = A ou G(dz) = z ^dz (avec 0 < <2 -d û). La relation (2i) conduit directement à une première expression de la variance conditionnelle : (23) cr C\ \ ) aZ

-f C2> 1

• i

obtenir une expression plus oarlan

e">l ^ <r £ ^ clC O O 1 Ci £ û 2.

<^-2- - CQ-\-*Û A

Or zf(z) a pour image de Laplace é> (u) = I J et le deuxième membre de la relation précédente, qui est - S & est lui-même, à un facteur près, l'image de / x f(x) dx . D'où la deuxième Jô \

eM - £0- Co>i+"z\- expression de la variance conditionnelle : l (24) i ^ - C-Î^) C<3-1 + ^2 ^ Corollaire. La densité f(x) de la loi stable e A -<x x X 4-Cx\ dût vérifie la relation : (25) 1 a X i

PC*-*)

i 3C-frjf ï * Ce e> Inversement,.la relation (25) caractérise la loi -o. A «