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I Il s'agit bien d'une fonction décroissante, nulle à l'infini et valant 1 à l'origine : F est une véritable granulométrie. L'espérance m' du grain primaire existe et vaut m' = u(<*>) X ?o« & d a + G Cette granulométrie (6), qui n'est pas exponentielle, apporte une solution à % ce problème paradoxal qui consiste à simuler l'absence de mémoire des phénomènes markoviens, à partir de données initiales non markoviennes. ♦ Exemple 2 : Files d'attente. Nous venons d'utiliser la première relation (4). En général, on se donne plutôt la granulométrie primaire, et on cherche à en déduire la granulométrie booléenne G. En théorie des files d'attente,un problème se pose dans le cas où les guichets en fonction sont assez nombreux pour que tout client survenant soit aussitôt servi. Si F est la loi du temps de service de chaque client, G représentera la loi gouvernant la période T d'activité : T # est l'intervalle de temps séparant l'arrivée du premier client et l'instant où les guichets redeviennent tous libres simultanément pour la première fois. On a P( T < ) = <L si P (O) 1 , c'est à dire si lim À+- ù -t- A _ £ AlA\ autrement dit , si R(/\ ) pour ^-£0 . Il en est ainsi si l'intégrale : • • /"Ve à est divergente. Cette condition est remplie, en particulier, pour u(t>e>) = m' < && et on a alors . Mais il se pourrait oue l'on ait ïï(o^)

sans que l'intégrale ci-dessus converge : dans ce cas, on,a toujours P(T 6^) : mais cette fois E(t) = . Si ,par exemple, 1 - F(x) est équivalent à a/x pour x grand (cas du rapport X/Y de deux variables exponentielles réduites, avec 1 - F(x) ='l/(l+x) ), on a u(h) équivalent à a logx , et ^ x ~ L'intégrale diverge pour 0 C l/a : on a alors |?(T ) = 1 et e(t) = 0° Exemple 5 : Théorème de recouvrement.On se donne le segment (0,£) de longueur ê o axe un grain en 0, puis indépendant n autres germes sur (0,£)? Chacun de ces n+1 germes est l'origine d'un segment de longueur X; aléatoire, les étant indépendants et obéissnt à la même loi F. Quelle est la probabilité pour que le segment (o ,£) soit recouvert par ces n+1 grains? . n ' '

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