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PRINCIPES DE LA. THÉORIE MATHÉMATIQUE
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z sont des fonctions continues de x, y, z; il en est donc de même des fonctions qui ex-
cements X -x, Y y, Z
priment X, Y, Z en x, y, z, ou inversement x, y, z en X, Y, Z. Et en nous limitant dans un rayon infiniment petit autour du point considéré, nous pourrons écrire
) (IX +
dx=ç
dx
(-ciry)
dl( +
çidx
(1)
dY --'.-
Une surface de cette espèce a trois plans de symétrie; si nous les prenons pour plans coordonnées des X, Y, Z, nous aurons :
(5)
()d x dz,
=
My\ ,,,, / dy\ ) al' (e(d ) 'IX + VY-) dY ± (d z) .dz. (dd y.z) (dz\ ,
et l'équation de l'ellipsoïde résultant de la déformation de la sphère de rayon dB sera réduite à dX"E
(Les expressions entre parenthèses sont les dérivées partielles de x, y, z par rapport à X, Y, Z, dérivées finies et continues d'après ce qui précède.) Nous déduirons de là : (d x)
dx= + de + dz,2=_- dX- _.
+ 2c/XdYY, (-±'1 ) dX
-}-dli-2.:
(dx)2 dY
+ dZ-,,E
(dx\`' dZ) '
(.1'-'d ) + ,dxdzs (dx) (c.n dZj dX dI (dx\ (dx\
+ 2d-YdZE
(lys (dx\' WZI
dX 2d.Xdi
dx\ dx\ (uy) 2dYdzz
2dXdZI
(dx) (dx
(dx) (dx). (17,
V/Z.)
(=x-)-
dZ,
Considérons deux lignes droites allant de l'origine aux
points dx dy dz et dx dy dz et les droites correspondantes allant de la nouvelle origine aux points dX ,
dY cili et dX2, dY, dZ2. Si les premières sont rectangudy,dy2+ laires, et si par suite on a : nous aurons, en remplaçant dans cette relation dx dy,,dzi. dx dy dz, par leurs valeurs en dX dYdrZ dX2, dY,, drZ, tirées des équations (i) et en simplifiant en vertu des équations (5):
dx\
Par conséquent les points de la surface sphérique de dy' dz= dB', se trouveront après la rayon dB, dx=
déformation sur la surface de
(2))
± dr.): (.1:)' \dY
dX
dY) VG) '
(dxy . dys (dxV
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DE L'ÉLASTICITÉ.
déformé, du point dont les coordonnées étaient x, y, z avant la déformation. D'après notre second principe, les dépla-
-
dX
)
(1Z,d7,21'
dYidY,z (c-ii.dx)
(d x7,-y)
= o.
Si donc nous considérons toutes les directions dx dy,dz,
perpendiculaires à la direction dx dy dz leurs correspondantes après déformation dX dY dZ, formeront un plan qui est représenté par l'équation (5), c'est-à-dire qui est le plan diamétral conjugué de la direction dX,, dY aZ, dans l'ellipsoïde représenté par l'équation (4). Comme chaque direction dX,, dY dZ, a pour correspon-
