Annales des Mines (1852, série 5, volume 1)
Page : Image 166
Révision de 10 avr. 2015 20:35:52, edited by 194.214.158.55
53o
RESSORTS EN ACIER.
RESSORTS EN ACIER.
et f, une fonction dépendant de X et des moments d'élasti-
W, etc. On aurait des relations semblables, d'une part, entre C, et C C, et C etc.; et de l'autre, entre C', et C' C', et C' etc.; et comme les dernières contantes C et C', qui se rapportent au premier étage de la maîtresse
cité, mais ne dépendant ni de Q ni des rayons de courbure. En intégrant deux fois de suite par rapport à X, comme variable indépendante , ainsi que cela a été fait plus
haut, on aura
feuille, è partir du milieu du ressort, sont nulles, puisqu'au C
V I -I-p' et
'PM
Q4'(,),)
y= C' + CX + (X) + Q1P(X),
point milieu de la longueur de la maîtresse feuille on a p = o et y o, il s'ensuit que toujours C et C' et, par suite, les sommes C' sont de la forme indiquée u(I)
Qv(X) ; par conséquent, on a toujours
C et C' étant deux constantes. Il est d'ailleurs évident que et 4. X) jouissent des mêmes propriétés que F et que .,(X)
et ilfM jouissent des mêmes propriétés que f, c'est-à-dire que 9 X) et .1),X) ne dépendent pas d, Q, mais dépendent des rayons de courbure et des moments d'élasticité , et que «X) et 119,) dépendent des moments d'élasticité, mais sont indépendants de la charge et des rayons de courbure. Je vais démontrer maintenant que les constantes C et C' et par suite les sommes C' 4- CX sont elles-mêmes de la forme u(X) Qv,X); la fonction 1/(X; jorussant de la propriété des fonctions F , 9(X) et (I),X), et v(i) de celle des
fonctions f, «,) et TM. En effet, pour l'ét'ige qui précède celui auquel se rapportent les formules ci-dessus, on aurait de même
= C. + ?.())
QLP(,)
et
y= C', -J- C,X + 1+,( ) + Qnr,(,). Or, si 1 est la demi-longueur de la feuille qui termine un des étages et qui commence l'autre, on détermine C et C' l'aide des deux équations C
y(1) + Q4)(/)
et
c?,(/) + Q4),(/)
C' + C/+4,(/) +
C,/
(1,, (I) + Qilf, (I).
Or on voit tout de suite que ces équations donnent C
C,
551
s
Qt
et
C' = + +Qt',
les fonctions s et s' étant de la catégorie des fonctions 9, 4,, etc., et les fonctions t et e de celle d es fonctions 4),
=1-7(1)
et aussi
QV()-)
Qr(1),
TYM
V1+ p'
les fonctions U et II' appartenant à la catégorie des fonctions 9 et les fonctions V et V. à celle des fonctions
Ces résultats sont, comme on le voit, indépendants de la nature de la courbe de fabrication des lames et ne suppo-
sent même pas que les moments d'élasticité restent constants dans une même feuille.
Pour avoir la flexion en un point quelconque, il faut faire dans l'expression ci-dessus , Q = o , et, comme et V(,) ne dépendent pas de Q, on aura pour la valeur de y, sans charge,
= =
mais la flexion donc
yi
On obtient ainsi le résultat annoncé. On voit en même temps que la flexion en un point quelconque du ressort est : i° proportionnelle è la charge; 2° indépendante de la forme et de la courbure primitives des lames, puisque V(/) ne dépend d'aucun rayon de courbure. La seconde formule
U'O.) + QV10.) fournit
+
un résultat analogue. En effet, en appelant 0 l'angle formé par la tangente avec l'horizontale, on a p dy
VI+ p'
a'
Z. sin ft.