Annales des Mines (1855, série 5, volume 7)
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D'UNE CHARGE EN MOUVEMENT.
RÉSISTANCE OES POUTRES SOUS eACTION
492
pour la courbe AH, et on aura, pour la courbe BU: (65)
X1-3'4 k22.
y=(a,-1-1k'
/7
_
p
pl 2.3.4
4.5. 6.71),
1
3.4 m
a ux
1
I
2.5.4 m x14
Par la solution qui vient d'être exposée, toutes les conditions du problème sont satisfaites, si ce n'est celles
qui sont relatives à l'état initial du système, pour lesquelles les mêmes observations ont lieu que pour le problème analogue traité dans le premier chapitre. Ces observations même ont plus d'importance dans le cas actuel, attendu qu'ici, même au degré d'approximation correspondant à des termes multipliés par la première puissance de
la condition relative à la figure itfi-
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2 étant un nombre entier et positif et la caractéristique s indiquant une somme qui s'étend à toutes les valeurs de i, depuis i= j jusqu'à Je prendrai maintenant, pour point de départ, la solution précédemment trouvée. Les valeurs de y, 'qui ont été obtenues , tant pour la courbe 41-I que pour la courbe BH , vérifient toutes les conditions du problème, sauf celles relatives à l'état initial. Ainsi elles satisfont
à l'équation aux différences partielles, ainsi qu'aux conditions particulières aux .points extrêmes. Quant à l'état initial, la figure initiale de la poutre est donnée, par ces mêmes valeurs de y; seulement, ces dernières valeurs de y donnent une certaine vitesse initiale pour
les divers points de la poutre, tandis que, dans la réalité, pour t = o, la vitesse de chaque point est nulle.
tiale de la courbe BU, ou de la poutre, est seule satis-
faite. Mais il n'en est pas de même de celle c[ui se rapporte aux vitesses initiales de ses différents points. C'est ce que l'on voit de suite en jetant les yeux sur les
valeurs de a, , b d etc. données par les équations (58) , (59) , (62) , (65) , etc. Néanmoins, je vais faire voir que cette circonstance n'a, dans tous les cas
de la pratique, qu'une influence insensible et tout à fait négligeable.
Je rappellerai, tout d'abord, un théorème dû à Lagrange, et en vertu duquel si ? (x) est une fonction quelconque de x, continue ou discontinue qui soit nulle pour x o et pour x=1, et qui ne devienne infinie pour aucune valeur de x, comprise entre ces deux limites, on aura , pour toutes les valeurs de x, depuis x = o jusqu'à x= inclusivement :
(66). cf(x)=
E
2
op 4). sin
dx
si
n 7,
Je désigne par (;) la vitesse initiale donnée, pour les différents points de la courbe BU, par la solution précédemment trouvée. Cette fonction est donc connue. Je cherche maintenant l'équation du mouvement de la
poutre si, n'ayant aucune charge mobile, elle partait de la position d'équilibre avec une vitesse initiale, pour chaque point, égale à y (x1).
La valeur de y, qui répond à ce mouvement particulier, est donnée par l'équation suivante, où i est un nombre entier positif, qui doit varier depuis l'unité jusqu'à l'infini. (67) y
s (-i2
p(xi) sin o
dx,)
sin
kt.
En effet, cette relation satisfait à toutes les conditions
du Problème, tel que je l'ai posé. D'abord on a: d'y
k. d'y