Annales des Mines (1859, série 5, volume 15)
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APPAREIL PENDULAIRE
DE M. SIRE.
Soient A, ox les traces sur ce plan, de l'axe de rotation de (S) et du plan d'oscillation ; oy la perpendiculaire à
leur de w`. Or, la rotation instantanée, dans l'espace
ox dans le même plan horizontal ; oz la portion de la verticale du point o au-dessous de ce plan. La composante de la force centrifuge due au mouvement d'entraînement (S), d'un point quelconque nt du tore, suivant ox est (j'In (p cos Le moment total de la force centrifuge par rapport à l'axe de suspension oy a par suite pour valeur w=i'm (cos
) z = w2Y.47txz
tù2p cos TM/cos a.
Soient x', z' les coordonnées du point m rapporté à une parallèle ox' à l'axe du tore et à OG, on a x = x' cos a + z'sin a,
=
sin a 4-
D'où.
sin 2 a Em (e 22), attendu que oG . axe principal (l'inertie du tore par flixz,.=
rapport à son centre de gravité, jouit de la même propriété relativement à un point quelconque o de sa direction. Or Zan (0+ z12) =A+ MI', Em(x'=+ y'2) = B.
d'où (
x) = A + 31P B;
l'expression du moment dû à la force centrifuge est donc w' 2
sin 2a (A +
B)
w231p/ cos pcos a.
et l'on a pour l'équation du mouvement du pendule, d'a d
w(B+M/2) w'cosczMg1 sin a+-lw' sin 2a(AB+MP)
(ù2Mplcosp cos a.
Il nous reste à substituer dans cette équation la va-
absolu, du tore autour de son centre de gravité se coinla composante suivant l'axe
pose des rotations w, w', du tore est w'
w sin .; mais elle est constante puisque
le tore supposé libre n'est soumis qu'à l'action de son poids, des réactions des crapaudines de la chape qui rencontrent son axe, en négligeant toutefois les frottements; on a donc sin a
d'où
n
n,
w sin a.
et l'on a enfin pour l'équation du mouvement pendulaire d'a teMe/cos?) cosa 1U/g sin a (I) (B +11[P),rd w2 sin 2a (1/2 B).
En multipliant cette équation par da , puis intégrant en da
o pour = o, il vient
remarquant que d--t
ri,
(2)
(B
11111
2.
(Awnw2 Mpl cosy) sin
dt a
251./gsin2
ce 2
sin'a(M/2 B)
formule qui n'est autre chose que le résultat de l'application du principe des forces vives.
On peut, du reste, arriver immédiatement à cette formule en exprimant que le demi 'accroissement de la force vive est égal à la somme de travail de la pesanteur et dé la force centrifuge. En effet, la force vive du système étant égale à la 'force vive due au mouvement du
centre de gravité augmentée de celle qui résulte du mouvement de rotation autour de ce centre, il vient pour son demi-accroissement da' + (B +MI')
(.'.-10).