Annales des Mines (1861, série 5, volume 20)
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Problème
de l'équilibre du système du spiral et
balancier.
SPIRAL RÉGLANT
qu'elle a été établie principalement par Navier, Cauchy et MM. Lamé et Clapeyron. J'entre maintenant dans les détails de la question, et
d'abord je commence par résoudre le problème suivant : « Le spiral et le balancier étant dans leur position
naturelle et en équilibre, on suppose que l'on fasse décrire au balancier un angle de rotation a. On demande quel est le moment du couple qu'il faudrait appliquer au balancier pour le maintenir dans cette nouvelle position contre l'action du spiral. » Pour résoudre ce problème, je rapporte le système à deux axes coordonnés rectangulaires, passant par le centre 0 du balancier (Pl. I, fig. 5), et dont l'un, OY, passe aussi par celle des extrémités du spiral qui est fixe.
Si l'on considère, dans la nouvelle position d'équilibre, le balancier et le spiral comme formant un tout solide, ce système doit être en équilibre sous l'action du couple appliqué au balancier et dont le moment, que j'appellerai G, est précisément ce qu'il s'agit de déterminer. De plus, le centre du balancier étant fixe, rien n'empêche de le considérer comme libre, pourvu qu'on applique en ce point 0 une force égale et contraire à la pression qu'il peut exercer contre les parois du trou. Désignons par Y et X les composantes, suivant OY et OX de la force ainsi appliquée au point 0, point que je regarderai alors comme libre. B étant la position occupée par un point quelconque du spiral dans le nouvel état d'équilibre, j'appelle x et y ses coordonnées; s la longueur du spiral, comprise entre ce point et l'extrémité fixe; L la longueur totale du spiral ; M le moment d'élasticité de celui-ci; enfin p
le rayon de courbure du spiral au point B, dans la nouvelle position d'équilibre, et po le rayon de courbure
DES CHRONOMÈTRES ET DES MONTRES.
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du même point B dans l'état naturel du spiral quand le moment G est nul.
Dans la nouvelle position d'équilibre, celui-ci ne serait pas troublé si l'on solidifiait toute la partie du spiral comprise entre le point B et l'extrémité engagée
dans le balancier, et l'on a alors à considérer l'équilibre d'un corps solide formé de l'ensemble résultant de cette partie du spiral et du balancier, et soumis d'une part au couple G qui agit sur le balancier et aux forces X et Y, et d'autre part aux actions moléculaires exercées sur la section B par la partie non solidifiée chi spiral. Si l'on transporte au point B les forces Y et X,
ainsi que le couple G, le 'couple résultant doit faire équilibre à celui qui provient des actions moléculaires développées par la partie non solidifiée du spiral. Or si, pour fixer les idées, nous supposons que l'angle de rotation a soit dans un sens tel que le rayon de courbure ait diminué au point B, le moment de ces actions mole1
1)
P
P.
culaires est égal à M( -
et nous aurons
Li P
Po
l:
Cette équation convient à tous les points du spiral. On peut donc multiplier les deux membres par ds et intégrer dans toute l'étendue du spiral, ce qui donne
M= P
GS ds
Y.geds
P.
Occupons-nous d'abord du second membre. On a S ds
L
et G S ds= GL.
Puis si nous appelons x, et y, les coordonnées du