Révisions de la page | Historique de transcription | Annales des Mines (1861, série 5, volume 20)

SPIRAL RÉGLANT

98 c'estcentre sur l'intersection des deux sections transversales, plan horizontal. à-dire sur une même perpendiculaire au Cela posé, procédant d'une manière synthétique, je vais déduire les inconnues u, r, tu de certaines considérations établies à priori, et faire voir ensuite que, combinées avec des valeurs convenables des forces, elles satisfont à toutes les conditions du problème, c'est-à-dire aux trois équations indéfinies et aux trois équations aux limites. J'admets donc à priori que tous les points du corps qui se trouvaient primitivement sur une même section transversale, sont encore, après la déformation, sur un même plan normal à la ligne neutre déformée. J'admets, en outre, que tous les points qui étaient situés primitivement sur un arc de cercle infinitésimal, contenu dans un plan parallèle au plan horizontal et dont le centre initial était sur l'axe de ce plan, se trouvent encore, après la déformation, sur un petit arc de cercle dont le centre serait pour tous à l'intersection de leur plan avec la perpendiculaire au plan horizontal menée par le centre de l'arc de cercle de la ligne neutre déformée. Imaginons (Pl. I, fig. 12) que le plan du dessin représente le plan horizontal et soit OM l'élément de la ligne neutre compris entre les deux plans transversaux infiniment voisins, COS, CMP. Le point C est le centre de l'arc de cercle OM. Prenons, dans le plan horizontal, pour axes des x et des z, la ligne OX tangente à OM et la ligne OZ perpendiculaire; puis, pour axe des y, une droite OY perpendiculaire au plan horizontal. -

Soit, dans un plan parallèle au plan horizontal, un arc de

cercle SP compris entre les deux sections transversales et ayant vertical qui se projette en C sur le plan

DES CHRONOMÈTRES ET DES MONTRES.

99 veinent sur OY et OZ; ce seront les valeurs de v et w relatives

au points situé, avant et après la déformation, sur le même arc que le point P. Désignons aussi par fo la projection de l'arc PS sur son rayon CS; puis, par ro, le rayon initial CM, et par r le rayon C'111' après la déformation. On a, pour l'x du point P', x +u = C'S' . sin OG'M'.

Mais

C'S'=r

z

fo + wo.

Puis, à cause que OM est un arc infiniment petit, on peut remplacer sin OC'M' par

r,

OM'

OM

puisque je suppose que la ligne neutre n'a pas changé de longueur. Mais

ro+ + fo;

0M: SP

Donc

SP .

OM

r,

xro

ro+z+ fo ro+ z+ fo;

car on peut remplacer SP par x, puisque l'arc SP est infiniment petit. On a donc, en substituant , dans la formule ci-dessus, qui donne x u,

xIu=--(r+z+fo+wo) r (ro+xr,zEfo). A cause que z et fo sont très-petits par rapport à ro, on peut mettre sous la forme

ro + z+fo

son centre sur l'axe

1+ro + ro

horizontal.

Après la déformation, le petit arc de cercle OM se sera

changé en un arc de cercle OM' dont le centre est en C'. Puis, d'après l'hypothèse faite, l'arc de cercle SP se sera changé en un arc de cercle S'P' et celui-ci : in sera dans un plan parallèle au plan horizontal; 2' aura ses extrémités S' et P" respectivement sur les plans verticaux COZ et C'M'; et 5" aura son centre sur la verticale qui se projette en C' sur le plan horizontal. D'après cela, pour le point quelconque P, dont les coordonnées primitives étaient x, y et z, il s'agit de calculer les projections u, v, tu du déplacement PP', après la déformation. A cet effet, appelons vo et wo les projections de SS' respecti-

z

f.

ro

ro

et, par suite, on déduit de la valeur précédente de

r

ro

ro

Or, en faisant attention que

1°) r (zro+ ro,

est très-petit et qu'il en est

de même de --,, l'expression précédente se réduit à ro (V)

uxz

x+u,

r

r3