Révisions de la page | Historique de transcription | Annales des Mines (1861, série 5, volume 20)

105

SPIRAL RÉGLANT

DES CHRONOMÈTRES ET DES MONTRES.

forces, dont les composantes sont X, Y et Z, sont données par

parallèles opposées et égales aux forces N1c1., cette tranche serait maintenue en équilibre. Il s'agit maintenant de vérifier qu'en appliquant, non pas sur chaque section transversale, mais sur les deux bases qui terminent le spiral, de pareilles forces, le système entier sera maintenu en équilibre. Or, remarquons que, d'après la forme que j'ai supposée en construction à la ligne neutre du spiral et qui permet de la dé-

1 04

(II). Or N N,, T T, T, sont nulles; d'autre part, m qui représente le cosinus de l'angle formé par la normale à un élément quelconque de la surface avec l'élément correspondant de la ligne neutre est zéro. Donc les formules (H) font voir que les valeurs de u, s et w satisfont bien aussi à la condition qu'il n'y ait aucune force extérieure appliquée à la surface latérale du fil.

Si l'on appelle dw un élément superficiel quelconque d'une section transversale, la résultante de toutes les forces agissant de part et d'autre de cette section est, d'après (XI),

former géométriquement d'après lar loiro-1 constante , en satisfaisant aux conditions de position et de direction im posées à ses deux extrémités, le moment des actions molécu-

laires est constant pour toutes les sections transversales, (XII)

comme il résulte de son expression (XIII ). En même temps, la

P-(3).+21') 1+

ro

formule (XII) montre que les forces moléculaires sont les mêmes et distribuées de la même façon dans toutes les sections,

et elle est nulle, puisque l'origine des coordonnées est au centre de gravité de cette section. Les forces se réduisent donc à un couple et en décomposant celui-ci en deux autres parallèles aux plans des (x, z) et des (x, y), on a pour son moment

(i

r

ro)\/(Seaw)+ (çYzd.)

Mais comme le plan horizontal partage chaque tranche en deux parties symétriques, ment cherché. (XIII)

p. (5X-1- np.) (i

X+

o, et l'on a, pour le mo-

yzd.

\?..

1) S ro

qui est l'expression connue.

Il est bon de remarquer aussi que les formules (X) donnent bien, comme cela a été supposé à priori, l'invariabilité de lon-

gueur de la ligne neutre, puisque pour Z-0, on en tire du = o. dx

Ainsi, pour une tranche infiniment mince quelconque, comprise entre deux sections transversales voisines, normales à la ligne neutre, si l'on appliquait, sur ses deux bases, des forces

sauf leur direction qui est partout celle correspondante à la ligne neutre. Il résulte de là que, si l'on considère une portion finie quelconque du spiral, comprise entre deux plans transversaux, elle sera en équilibre sous l'action des forces moléculaires qu'elle éprouve de chaque côté, de la part des deux autres segments du spiral, puisque ces actions se réduisent à deux couples dont les moments sont égaux et contraires.

Au contraire, si la ligne neutre, c'est-à-dire la ligne dont la distance entre deux points infiniment rapprochés quelconques

est invariable, n'eût point passé par le centre de gravité de toutes les sections transversales, l'équilibre général n'eût pas pu exister avec la loi de déformation r-

constante que

je me suis donnée d'avance pour cette ligne neutre. En effet, la formule (XII) montre qu'il y eût eu quelque section transversale où les actions moléculaires auraient eu une résultante qui n'eût pas été nulle. Supposons, par la pensée, le spiral limité à cette section et appliquons sur celle-ci des forces égales et contraires aux forces Nid. correspondantes. Si le système so-

lide restant était en équilibre, celui-ci subsisterait en en retranchant une portion finie quelconque à l'aide d'une section transversale et appliquant sur celle-ci des forces égales et contraires aux forces moléculaires, et il faudrait que ces dernières se détruisissent avec la résultante dont il a été parlé. Il