Annales des Mines (1861, série 5, volume 20)
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SPIRAL RÉGLANT
DES CHRONOMÈTRES ET DES MONTRES.
faudrait donc qu'en transportant cette résultante au point de rencontre de la section opposée et de la ligne neutre son moment fût égal à (XIII ). Or le moment (XIII) est constant pour toutes les sections transversales, tandis qu'en transportant la résultante dont il s'agit à une section quelconque du spiral, son moment change nécessairement.
extrêmes. Or il est visible qu'en les déterminant d'après les
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.
Donc, enfin, avec la loi de déformation géométrique assignée
d'avance à la ligne neutre, il était nécessaire de supposer celle-ci passant par le centre de gravité de toutes les sections transversales. En résumé, la ligne neutre étant déformée de cette manière, les valeurs de u, 'y et w données par les formules ( X) satisfont à toutes les conditions du problème de l'équilibre, pourvu que les bases extrêmes du spiral étant, en construction, normales à la ligne neutre, on suppose appliquées sur leur surface des forces représentées par Nidw, puisque le calcul indique qu'a-
conditions exposées tout au long dans ce qui précède, on aura une solution qui satisfera complétement à toutes les conditions d'équilibre, et comme il ne peut y avoir qu'une seule solution pour l'équilibre, ce sera celle-là qui aura lieu.
Il est donc démontré par là que la théorie ordinaire de l'axe neutre, dont je me suis servi dans ce problème et dont tous les résultats d'ailleurs ont été parfaitement d'accord avec l'expérience, est, dans cette circonstance, une conséquence rigoureuse de la théorie mathématique de l'élasticité. Je remarquerai à cette occasion que cette concordance s'appliquerait, en dehors de ce problème, dans une multitude de cas analogues, où les flexions se feraient d'une manière sem-
blable, c'est-à-dire avec un changement de courbure uniforme.
lors toute portion du spiral comprise entre deux sections transversales quelconques, soit infiniment rapprochées, soit à une distance finie l'une de l'autre, est en équilibre. On voit en même temps : i" que tous les points primitivement situés sur une même section transversale se trouvent encore après la déformation sur un même plan normal à la nouvelle forme de la ligne neutre; 2° que le lieu géométrique des centres de gravité de toutes les sections transversales reste, dans toutes les parties, d'une longueur invariable. Réciproquement si, comme cela a lieu réellement, le problème se pose différemment, le résultat sera encore le même. Ainsi on ne sait pas d'avance la forme qu'affecte dans la déformation le lieu gécmètrique des centres de gravité des sections
transversales; on ne se donne pas d'avance les forces qui agissent sur les bases extrêmes du spiral. Mais on assujettit celui-ci aux conditions suivantes. Une de ses extrémités est fixe et de direction invariable ; l'autre est déplacée de manière à arriver en un point déterminé d'une circonférence donnée que
cette extrémité doit encore rencontrer sous un angle assigné d'avance. De plus, les deux bases extrêmes, supposées primitivement planes et normales à la ligne neutre, sont astreintes à demeurer, après la déformation, en tout ou en partie, normales à la ligne neutre déformée. Ici les inconnues sont la forme de la ligne neutre et les forces moléculaires aux bases
ADDITION.
« La formule (8) présente aussi une analogie très-remarquable avec celle qui correspond au pendule, en ce sens que, toutes choses égales d'ailleurs, la durée des vibrations d'un spiral est proportionnelle à la racine quarrée de sa longueur, de même que la durée des oscillations du pendule est proportionnelle à la racine quarrée de sa longueur. Ce rapprochement est d'autant plus intéressant qu'il n'existe dans les deux cas rien de semblable, soit dans le corps en mouvement, soit dans la nature de la force motrice, et même, pour le pendule,
cette loi n'existe que pour les oscillations d'une très-faible amplitude, tandis que, pour le spiral, elle a lieu quelle que soit l'étendue des vibrations du balancier. »