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Annales des Mines (1865, série 6, volume 7)

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MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.

MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.

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Expressions des quantités P et Q en coordonnées curvilignes. On a (*)

que par le déplacement du corps, il faut en vertu de la formule (1) que (8)

dP

cos (N,te) =

= hd dup' Forme générale de la fonction p.

dp,dp

duz

La condition (7) sera satisfaite en posant,

par suite h

Q=

y

hhih,

-ri

dp dp

r

d pdP

(z11-1 \ d p-

(9)

Q".."

dP

Q,---=

Conditions particulières du problème dans l'hypothèse d'un fluide indéfini. La fonction y, intégrale de l'équation aux différentielles partielles (2), doit être déterminée de manière à satisfaire aux conditions suivantes: 1° La composante normale à la surface du corps, de la vitesse relative de chaque molécule fluide en contact avec elle devant être nulle, puisqu'il ne peut y avoir qu'un glissement le long de cette surface, il faut que l'on ait (n° 6) : dp

-di

pour

0

p=

ou, en vertu de la première des équations (4), I

r `1 7

dt

55

dx

cly

ch-_:,)

-di

dt

dtif

dy dp

dp

p=C

Aa

Ayay

Byny

C étant uniquement fonction du temps, et les A et B des fonctions des pi et non de t, satisfaisant, substituées à p, à l'équation (2), ainsi qu'aux conditions dA, dp

(Io)

dx

= C17'

dB dp

dA,,

dy

dp

dp

dB d p. =

dA

dz

dB,.

dp

dp'

dp

.zdy

ydz

p

dp

pour p = p0.

Si l'on porte les valeurs (5) et (9) dans l'équation (5) , puis la valeur de po qui s'en déduit dans les intégrales (6), on reconnaîtra que chacune de ces dernières sera formée de trois parties ; la première due à la perte de poids dans le liquide comme à l'état de repos (n° 5) ; la seconde, fonction

linéaire des da' dnu dt dt

et la troisième fonction homogène

du second ordre de au, nu; quant à

dt

il disparaît

puisqu'il joue le rôle d'une constante dans l'intégration.

2° La vitesse absolue de chacune des molécules fluides situées à l'infini étant nulle, si le mouvement n'est produit (*) Formules (3) et (G) des notes.