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PLANIMÈTRE DE AMSLER.

PLANIMÈTRE DE AMSLER.

base Aa" un triangle infinitésimal dont les deux angles adjacents à la base sont l'un A + dA et l'autre n A. Leur somme étant égale à TC dA, l'angle au sommet est égal à dA, Or en désignant par x la distance au point A du

point de concours des deux directions qui

x

et en remplaçant

comprennent

dA, on a

entre elles cet angle

dp sin A dA

dA par sa valeur (1) et réduisant : 242 sin2A

r2L2

Si de x l'on retranche la longueur DA = L

1, on ob-

tiendra la distance du point de concours au plan de la roulette et enfin en multipliant a; (L 1) par l'angle infiniment petit dA, le chemin élémentaire parcouru par le point de contact de la roulette et du plan, correspondant à la composante d. du déplacement effectif du style de l'instrument et, comme ce chemin est dans le plan mênle de la roulette, il est précisément égal à l'arc décrit par la circonférence de celle-ci. Effectuant le calcul indiqué et désignant par E' l'arc décrit à la circonférence de la roulette, qui s'ajoutera au premier arc E, on trouve Er = [x

(L + 1)]

dA

(sin A

(L ± 1) (P2 + 2L p' sin A

L2))

Le coefficient de dp clans cette valeur de e' dépend de la seule variable p, dont l'angle A et son sinus sont des fonctions, puisque les côtés r et L du triangle restent constants. Donc pour und même valeur de p, quelles que soient d'ailleurs la situation du triangle PCA dans le plan de la figure

et l'inclinaison de l'élément de courbe, dont le style de l'instrument fixé en A suit le contour, la valeur e' est pro-

portionnelle à dp et change de signe avec dp, de sorte que deux valeurs égales et de signes contraires de l'accroissement infiniment petit et arbitraire dp, correspondantes à

des valeurs d'ailleurs égales de la variable p, donnent deux valeurs de l'arc e' égales et de signes contraires, qui s'annulent mutuellement.

Or, quand le style décrit soit une courbe fermée, soit une courbe telle que MIN dont les extrémités A et N sont à des distances du pôle P égales entre elles, pour lesquelles le rayon vecteur p a la même valeur, ce rayon vecteur passe nécessairement deux fois ou un nombre pair de fois par les mêmes valeurs. Si dp est positif dans le premier passage, il est négatif dans le second ou vice versé, en pre-. nant sur les deux branches de la courbe pour lesquelles l'accroissement dp est positif pour l'une et négatif pour l'autre, deux éléments interceptés entre deux circonférences ayant leur centre commun au pôle, et dont les rayons diffèrent d'une quantité infiniment petite, les valeurs de p et de l'angle A seront les mêmes pour ces deux éléments ; la grandeur de l'accroissement dp sera aussi la même de part

et d'autre, mais cette grandeur, si elle est positive pour l'un des deux éléments ainsi définis, sera négative pour dépendant du sens l'autre, l'ordre des deux signes + et dans lequel la courbe aura été décrite par le style de l'instrument. L'intégrale des arcs e' pour le trajet entier du style sera donc composée d'éléments égaux deux à deux, les uns positifs, les autres négatifs qui se détruiront mutuellement, de sorte que leur somme algébrique sera nulle. L'arc

fini décrit par la circonférence de la roulette se réduira donc à l'intégrale des arcs e donnés pur l'équation (1). En établissant une. équation telle que l'équation (1) pour tousles éléments successifs de la courbe AMN parcourue par le style du planimètre et sommant toutes ces équations, ana:

LE= (1,2 + r'

2L/)

(A)