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PLANIMÈTRE DE AMSLER.

que soit la position du point P et de la tige PC ; le pôle fixe

de l'instrument n'est donc plus, dans ce cas, le point p, mais bien le point C, centre de la circonférence décrite

par A. Il faut donc, pour avoir l'aire du cercle dont le style décrit la circonférence, ajouter au produit Ln de la longueur L par l'arc développé à la circonférence de la roulette, le terme constant 7C (L9 r= + 2 Li) dans lequel nous devons faire r 0, puisque le pôle coïncide avec le centre C. Ce terme se réduit ainsi à 7C (L2 + 2 Li). Or, tandis que le style A décrit la circonférence de rayon L, enfermant une aire égale à r.L2, le. point de contact de la roulette et du papier décrit autour du même centre C la circonférence de rayon 1 dont la longueur est 2 Tc/ ; chacun des éléments de cette circonférence est situé dans le plan de la roulette à l'instant où il est décrit. La roulette, du-

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ligne droite, et le planimètre se réduit à cette tige unique qui, tandis que le style suit le contour de la figure à mesurer, tourne dans son plan autour de ce point C, lequel est lui-même mobile suivant une ligne droite déterminée. Le pôle étant, dans ce cas, situé à une distance infinie, est nécessairement extérieur au périmètre de la figure à mesurer et l'aire de celle ci, pourvu qu'elle soit limitée par un périmètre fermé, est proportionnelle à l'arc entier dont la circonférence de la roulette a tourné, pendant que le style en a parcouru le périmètre. C'est ce qu'il est facile de démontrer directement.

rant une révolution complète de la ligne CD autour du centre C tournera donc à sa circonférence d'un arc égal à ni et nous aurons

y

E

et; Ansa/

conformément à la convention établie sur l'application des signes positif et négatif suivant le sens de la rotation dela roulette sur son axe. Donc

LIE=--- 27,U

LIE-1- 7:(I,

2L1)-=9,L2,

qui est bien l'aire du cercle dont le style décrit le contour, Les propriétés du planimètre polaire de Arnsler subsistent, quelque grande que soit la longueur de la tige CP et par conséquent aussi à la limite, quand on suppose cette longueur infinie. La circonférence décrite par le point C de la tige, qui porte le style et la roulette, devient alors une

Tou XIX, 1871.

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