Annales des Mines (1874, série 7, volume 5)
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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
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concentriques, et les surfaces p.= const., une série de plans ;
nouit que lorsque le système 0,, v., y) cesse de remplir l'une des conditions nécessaires de l'unicursivité (no 1). Analytiquement, le volume dU se compose de la réunion de trois prismes, ayant respectivement pour base les projections de l'une quelconque des six faces, par exemple de
const. sur les trois plans coordonnés, et pour hauteur les variations que subissent les trois coordonnées (x, y, z) de l'un des sommets de cette face lorsqu'on attribue à X une variation dX. Il peut arriver que deux des trois équations (i) ne renferment que deux des trois variables 0,, p., y), p. et v par exemple ; la valeur de dU devient alors, si z dépend seul
les désignerons, dans leur ensemble, sous le nom de sys-
la face X
tèmes planisphériques.
des trois variables, dz (dx dy
système des longitudes et des latitudes sur la sphère, en ce sens que les surfaces X = const. tracent des parallèles à latitude constante ; X est donc une fonction de la latitude seule et du rayon de la sphère.
au=dv
dy dx) d p. dv
dXdp.dv.
de Il est facile de déduire de cette équation l'expression élément l'élément superficiel do10 Projetons, en effet, cet ainsi un prisme que les sur le plan xy; nous obtiendrons d'élédécomposeront en une infinité surfaces 1=-_ const. évidemment ments de volume ; chaque élément dU devra satisfaire à l'équation ci-dessus ; mais, d'autre part, si l'on dU introduit l'angle que l'élément de, fait avec plan xy, dz
- l'identité néest mesuré par l'expression do-, . Z,
do-1, en
cessaire des deux valeurs de clU permet d'obtenir ayant égard à la valeur de Z, donnée dans le numéro précédent. transforma6. Coordonnées planisphériques. Formules de Particularisons, dans une certaine mesure, le systion. tème (X, p., y) , en supposant que X désigne la distance à un l'opoint fixe choisi comme origine des coordonnées, et p. plan susceptible de tourner autour rientation variable d'un d'un axe d'une direction arbitraire, passant par l'origine.
Les surfaces X
const. seront alors une série de sphères
l'intersection commune dé ces plans ou l'axe du système passera par le centre commun de toutes les sphères. La va-
riable y demeurant arbitraire, il existera une infinité de systèmes de coordonnées satisfaisant à ces conditions ; nous
Combiné avec une surface d'une série 'y = const., tout système planisphérique fournit, par rapport à cette surface, un système de coordonnées à deux dimensions qui peut, dans certains cas, être d'une très-grande utilité. Les coordonnées polaires sur un plan sont évidemment une application particulière de cette méthode ; il en est de même du
Faisons coïncider l'axe Mz du système (x, y, z) avec l'intersection commune des plans p. = const., et introduisons, à titre de variable auxiliaire, la distance G d'un point de l'espace à l'axe Mz. Nous aurons, quelle que soit la définition de la troisième variable y, x = G cos t.L,
y = G sin p.,
G' = X'
z2,
en admettant que le plan p.= o se confonde avec le plan xz. Par rapport à l'une des surfaces de la série y = const. , ces trois équations, combinées avec l'équation de la surface mise sous la forme z = , v., y), pourront être considérées comme les formules de transformation servant à passer du système à deux dimensions et réciproquement.
p.) au système habituel (x, y)
,
Ces formules permettent d'exprimer comme il suit les
dx dx dx dy
neuf paramètres différentiels ,
dp.
dy (1).
dG dv