Annales des Mines (1874, série 7, volume 5)
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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
/ 18
dx
= dG d p. dydG
= (7, COSP' dy
tiG
d tl
dG X
--cF, cos p..,
d y.
sin
Gd =
,clx
G sin p.,
S
dz
dG
dX'
di
.dy
p. + G COS V.,
z
dz
dv clG
dv
1 19
EMPLOI 'DES COORDONNÉES CUILVILIGNES.
c./G
757.sin p.,
- z. dz
Q la projection du point N' sur la droite NP ; on aura N'Q
PP'= dz dv. Le parallélipipède dont nous avons à dy
rechercher le volume a pour 'base, dans le plan zMN, l'élément superficiel do-, et sa hauteur est NPdy ; de là dU = NN'. NP. dXdp...
Il résulte de là que tous les éléments de. la molécule N peuvent être ramenés à ne plus dépendre que des trois parad dz dz s'd1 -s'agit des -éléments .linéaires ou
Mais les deux triangles NIN/Q, MNP sont semblables, puisque
superficiels de la face y = const., on n'a plus que des fonc-
Ni': MN :: N'Q : NP,
mètres --, cl),' tions de -
c1z.
cly
et de
d),
dz de'.
. Nous ne nous occuperons ici que
de l'élément de volume dIJ et de l'élément superficiel dcr,. 7. Éléments de volume en coordonnées planisphériques.
--
Si l'on remplace, dans la formule (3)., les six paramètres
dx dx dx dy dz dz
dz
d)
dy
dy.
,
dy
dz
par leurs valeurs en fonctions de
tes des équations différentielles -données déduites
dans le numéro précédent, on obtiendra (4)
leurs côtés sont perpendiculaires, et l'on a
'
dz dU=-,--- X --
ce qui permet de déduire la formule (4) de l'équation précédente , par la substitution de MN. N'Q ou de ),
rientation du plan zMN. Les trajectoires déterminées sur ce plan par les surfaces), = const.., =const. forment une série de parallélogrammes élémentaires; l'aire dc. de l'un de ces parallélogrammes a!éVidemment pour mesure NN'd),, si INN' const. Soient, d'autre est l'élément linéaire de la-c,ourbe part, P et P' les projections des points N et N' sur l'axe Mz,
dv
dy à
NN'. NP.
La variable y est complétement arbitraire; si on la suppose j'identique à z, ce qui revient à prendre pour la série des surfaces y = const. une série de plans perpendiculaires
à l'axe Mz, on aura
dz dy
dy = dz ; d'où il suit que l'élément
, de volume est donné, dans le système (),, y, z), par l'équation
é/y
Cette formule, remarquablement Simple, peut s'établir 'à l'aide de considérations géométriques tout à 'fait élémentaires. Soient, en effet, N 'fin peint placé à une distance de l'origine M, liflz l'axe du système planisphérique, y. l'o-
dz
dU
Cette formule ne le cède en rien, quant à la simplicité, à celle qui convient aux coordonnées rectangulaires, savoir
dU = dxdydz. .8. Éléments super(iciels en coordonnées planisphériques.
-l'élément superficiel, de, est donné par l'équation /clxdy
dyx\'
/dydz
dzdy\' Zip.) +
/dzdx
clxdx\' 715:-dv.)