Annales des Mines (1874, série 7, volume 5)
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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
dx dx
L'élimination des paramètres --, d),
dv.
cly
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
dy
les côtés de l'angle droit ont respectivement pour valeurs
d p.
dG
d)- peut s'effec,
(-17. dl et
tuer sans aucune difficulté au moyen des équations différentielles du n° 6; on obtient ainsi, en supprimant un in-
dz
d À ; on a donc NN' =---
dice désormais inutile,
(dz\' (5)
da = 1
,
et, par suite,
dz
= équation qu'on peut regarder comme l'équation différentielle des surfaces de révolution dans le système (X, z), et qui, par l'intégration, donnerait, en introduisant une
dX
()2 dG
zdz d dp. (dz)' 2 X dX )22
g. Éléments superficiels des surfaces de révolution.; de la sphère; du plan. Considérons une surface de révolution dont l'axe coïncide avec Mz ; on aura, en chaque point,
(G If)
cad
dX
Il suffirait maintenant d'éliminer G et
dG d),
pour obtenir la
formule donnée plus haut. Supposons que la surface de révolution devienne une sphère et que l'origine M soit placée en un point de cette sphère. Si l'on abaisse NT perpendiculaire sur MN', le triangle infinitésimal NN'T sera semblable au triangle MNP (les angles NN'T et NMP étant évidemment complémentaires) et l'on aura NP : N'T :: MN: d'où
fonction arbitraire, z
F (),).
NN' =
d7.,)2
(c-à
MN .N'T NP
),dX
et, par suite,
Par suite, l'élément d7 devient
da =
121
z dz
727 dXdp..
(6)
de =-- XdXdp..
C'est, en effet, à cette formule que se réduit l'expression générale de dcr, lorsqu'on tient compte de l'équation
Il est facile d'établir synthétiquement cette formule. Soient, en effet, NIN' un élément linéaire d'une section prin-
z
X'
cipale, G ou /)2z2 la distance du point N à l'axe Mz. L'élément NN' engendrera, en tournant autour de cet axe, un élément superficiel dc dont la mesure est évidemment NN'. Gdp.. Mais, en menant par les points N et N' deux droites NP et N'O, l'une perpendiculaire, l'autre parallèle à Mz, on détermine un triangle rectangle NN1Q dans lequel
qui est, en coordonnées (X, z), celle d'une sphère de diamètre D. On peut remarquer que l'élément dcr de la sphère est indépendant du diamètre. Si l'on suppose ce diamètre infini,
la sphère se confond avec son plan tangent, et la for-