Annales des Mines (1874, série 7, volume 5)
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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
15o
L'équation (8) nous donne, en négligeant les quantités du troisième ordre, dz
=
À
dz
d l'y. '
et, par suite,
EMPLOI DES COORDONNÉES
CURVILIGNES.
I 31
le nom de curvipolaire, puisqu'il n'est que l'extension aux surfaces courbes du système -polaire propre au plan. Les latitudes et les longitudes sur la sphère rentrent ment dans ce système, quoique les làtitudes soient évidemcomptées à partir de l'équateur. Si l'on conçoit en M système (x, y, z) déterminé par la normale et les lignes de courbure, l'élément linéaire dl sera donné par l'équation différentielle le'
),2
da =
(d
!_\ y
dl
Faisons subir maintenant à z une variation dz ----;--P3; il en
résultera pour
d, z
et
dz
2
tr.
(16-)
et l'on aura, en tenant compte seulement des termes de l'ordre le moins élevé, 3X2 7 73À2
z dz 2
+
/dz)
2
/dz
dX= z
dz
d'où l'expression suivante, exacte quatrième ordre inclusivement,
dz
6.7)
2
dX.
edv-;
jusquiaux quantités du
Si l'on néglige les quantités du quatrième ordre, on aura, en vertu de l'équation (8), dz) 2
+ -87
(1),
(g) da
(zdZ)
2
de là, en ayant égard aux formules de transformation du 6,
dz
'(3)'3 idz
(a.71j7)
les variations suivantes
dz,
da
(ddxx)2
edt.L.
cln,
n4
pri2+
Inversement, on a
surface on mène un plan normal, et qu'a partir de ce point on mesure, sur la section normale, un arc d'une longueur 1. La variable 1, combinée avec l'orientation p. du plan normal,
),3)
et en intégrant ),3
14. Éléments superficiels en coordonnées curvipolaires. Imaginons qu'en un point M d'une Théorème de Gauss.
+
1' 24y'
ÉLY
et, par suite,
fournira, pour la surface dont il s'agit, un système de coordonnées à deux dimensions qu'on peut désigner sous
G
)1'`
n
7
61'2
41Y