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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.

suite, il est facile de voir que la distance nu' ou ), satisfait à l'équation

EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.

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D'autre part, on a

,z+ 40 sin,

X' x'

sin' 2

de là, si x est constant, /1 résulte de là que, si et x sont constants, il en sera de même de p V. Donc si l'on pose

=u

u

y,

y,

on pourra tout d'abord considérer v comme constant, et l'on aura du,

dcp

F =_- 2a'

rip,)

sin y cos vdv

dX.

On peut donc, en censidérant désormais ), conune variable indépendante, écrire F, sous cette forme F,

2a11(X) cos 0 tang miXdx.

Posons maintenant

.

sin y cos u dudydxdx'

Nous définirons la position de l'arête de contact au moyen

X=

X cos 1);

nous aurons, en laissant ), constant,

de l'arc 9 qui s'étend entre le point où elle rencontre le

dx

plan Myz et l'origine M. Cela posé, deux intégrations suc-

et, par suite,

cessives, l'une par rapport à u, entre les limites y et 5 -1- y qui correspondent aux deux valeurs V = 0, p= 0,

F,

X sin 4,(45, -

II(X) X' cos 0

dXe.

X' sin tp

l'autre, par rapport à x', entre les limites o et 1, donneront une résultante partielle F, dont la valeur, est F, = 2a3

np,)

sin y [sin (0 + y)

sin (0 y)] dcpdx.

Nous pouvons maintenant, en laissant x constant, faire à la fois ), et y. Si y est pris, pour un moment, pour vat"?

riable indépendante, dv et --- seront des quantités équiva-

Nous admettrons que le rayon d'activité est toujours inférieur à 2a; did devra, ila,ns Cc cas, prendre, quel que soit

1, toutes les valeurs comprises entre o et 7c. En intégrant par rapport à 1), après avoir remplacé r(2n

par X' sin' q,

1) sire"' ( X ) + 1) 2"

4u'

lentes, car l'équation y = " se réduit, lorsque V s'annule, à y = `f2; on aura, d' après cela, 2

F,

8e'

I1(X)

cos 0 sin' v dvdx.

on obtiendra la résultante définitive R sous cette forme 7C COS 0 71 2n+ r2(2n+ 1) R

n+

r4(a

i) 26"a2n

II(X)X2"2dX.

On peut arriver à ce résultat par une autre voie, en employant d'autres systèmes de coordonnées.