Annales des Mines (1874, série 7, volume 5)
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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
trois axes rectangulaires Mx, My, Mz, les deux premiers, tangents respectivement à ce parallèle et à la ligne de plus grande pente, le troisième, normal à la surface et passant en conséquence par le centre C de la sphère. Soient a le rayon de la sphère, D le diamètre du parallèle, 0 l'angle que la normale fait avec le plan de ce parallèle, on aura 2a cos O.
D
latives à ces deux systèmes sont les suivantes
x
a sin 4, cos ,
y
a sin y,
z
a(1
cos
cos ?).
Les lignes ? = const. 4 = const. décomposent la sphère en éléments superficiels dont l'étendue do-, déduite de l'équation (2), est da = a' cos pdycli,.
Si l'on considère un point M' situé sur la ligne de plus grande pente MMS".... on _aura semblablement x'
o,
y'= a sin (p',
),2 = (x
= a(i cos T'),
2a2
=i
-I-
a' cos T'dT'd1/
d?
ne différera de l'unité que par
des quantités du second ordre. Dans ces limites d'approxi-
mation, on pourra, sans faire varier ni y!), considérer dp et d?' comme des quantités constantes ; c'est à cette conditiort que les valeurs de da et de dal données plus haut sont applicables: Si les deux parties de la sphère s'attirent mutuellement, les éléments da et da.' donneront lieu à une composante verticale F qui s'exprimera de la manière suivante F
11(X)
y '
cos 0 +
-Z X
sin 0) dada'; ,
en raison de la symétrie, il est clair qu'on n'a pas à_ tenir compte des composantes horizontales.
Après avoir remplacé yy' par a (sin psin a' cos fi d?'
z'
cos
cos y), dc par a2cos p dyd4, et do.' par , une première intégration pourra s'effectuer,
qu'il existe d'éléments de cette nature dans le périmètre T;D.
(2;
Au lieu d'étendre l'intégration au périmètre total, on peu
sin y, sin y,' -- cos g, cos p cos p'.
se borner à une certaine fraction de ce périmètre d'une étendue égale à l'unité linéaire; on obtiendra ainsi une première résultante partielle F, dont la valeur est F,
(ri
d
par rapport à'; la composante F, relative à l'élément linéaire ad/ doit évidemment être comptée autant de fois
Cette équation peut s'écrire ainsi
2); =
Il résulte de là que, si l'on fait varier y et y' en laissant et
par a (cos
La distance M'N ou ?, est donnée par l'équation
d'où
en négligeant seulement des quantités du quatrième ordre; on en déduit
- d constants, le rapport
La position d'un point N de la sphère peut se définir, soit par les coordonnées (x, y, z), soit par deux angles et y; le premier désignant la longitude de ce point par rapport au méridien Myz, le second, sa latitude par rapport à l'équateur CMx. Les formules de transformation re-
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110.)
[(sin T. sin T') cos 0 + (cos (V-
`Y-2)
2
- cos
cos cp) sin 6] cos
cos (?'