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EMPLO DES COORDONNÉES CURVILIGNES.

EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.

Imaginons deux surfaces de révolution S et S' ayant le même axe et un équateur commun, et analysons les attractions qui s'exercent entre ces surfaces, de part et d'autre de l'équateur, qu'on peut se représenter comme horizontal. En vertu de la symétrie, toutes ces actions donneront lieu, pour chaque surface, à une résultante verticale, appliquée en un point quelconque de l'axe commun. Cette résultante

D'autre part on a, en identifiant la méridienne Nn avec son cercle osculateur,

dépend évidemment de la nature particulière des surfaces S, S'; toutefois, si le rayon d'activité des forces attractives est

assez petit pour qu'on puisse remplacer une section méridienne quelconque par son cercle osculateur, elle ne dépendra plus que de trois paramètres, savoir : le rayon a de l'équateur et les rayons de courbure b et G' des deux méridiennes qui viennent se rencontrer en chaque point de l'équateur. C'est ce cas restreint que nous allons traiter ici, au moyen d'un système particulier de coordonnées. En un point M de l'équateur, imaginons trois axes rectangulaires Mx, My, Mz, le premier, tangent à l'équateur, le second, vertical et le troisième, normal aux deux surfaces. La position d'un point n de la surface S pourra être définie par sa latitude et sa longitude, c'est-à-dire par sa distance 1

à l'équateur, mesurée sur la méridienne nN, et par l'arc L qui correspond, sur l'équateur, à l'angle des deux méridiens nN et My. Si, par le point N, intersection du méridien nN et de l'équateur, on conçoit trois axes rectangulaires (x', y', z') placés, par rapport à cette nouvelle origine,, comme le sont les trois axes (X, y, z) par rapport à l'origine M, les deux systèmes de coordonnées seront liés par les équations suivantes

x= a sin

L ,c/

I

+ x' cos .'

z' sin

a

te.

z'

P

,

y'

z=

26

Il suffit d'éliminer y', z' entre ces six équations pour obtenir les formules de transformation relatives aux deux systèmes (Je, y, (L, 1) . Nous écrirons ces formules ainsi qu'il suit LP 2ab'

6a2

P

t

z = L' 20

26

Les lignes L = const., 1 =-_ const. décomposent la surface S en éléments superficiels dont l'étendue, déduite de l'équation (2), est

da = (1

2ab

dldL.

Si, au lieu de la latitude 1, on introduit, à titre de variable indépendante, une fonction quelconque w de cette latitude, on aura

P ) dl

206

aw

dL.

wdo-=(1

Lorsque w se confond avec la hauteur y, on a

de =

L

ec) dydL,

a'

= y',

Z= a (i cos a) + x' sin

= o,

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+ cos a.

en désignant par

-c

la différence -b

Nous définirons d'une 'manière analogue la situation