SOVITION IX DIVERS PROBLÈMES.. DE MÉCANIQUE.

ou (2)

h.-

de

W1 3'

it est inutile de tenir compte de la constante de cette intégrale, car elle disparaîtrait dans, la valeur vo u).

dx"

en faisant,

On a donc

()

(9)

L'intégrale générale de l'équation (2) est u

(4)

f(x -.17.k() +F(x

On déduit des équations (7) et (8)

kt),

f et F désignant deux fonctions arbitraires. 11 s'agit de déterminer directement les deux fonctions qui entrent dans la valeur de u. Je les désigne d'une manière générale par f () et F (), et elles ont besoin d'être connues :

=Ià

f

de =o à =

et 20

() de

On a d'abord ces deux fonctions de =o à d'après l'état initial, et on les obtient ensuite pour toutes les autres valeurs de la variable, d'après les conditions assignées pour les extrémités. L'état initial est donné de telle façon que, pour t=_-o, on ait

= cp.(x)

(5) et

f

- .(x)

F(x)=

2

1-F(X)

2

'If (41

ou, en désignant d'une manière générale par on a (12)

f()

(15)

F()

la variable,

(.?() + 11j.

Comme y () et () et par suite y () et IF () sont données pour toutes les valeurs positives de la variable comprises entre o et 1, il en résulte que f (.) et F () sont

du

connues pour toutes les valeurs positives de la variable comprises entre o et /. Il reste à trouver ce qu'est f (,) de

IL faut donc qu'on ait, à cause de l'équation (4),

f(x)+ F(x) et

kf'(x)kF'(x)

Éx) ,P(x)'

ou, en intégrant cette dernière relation, (8)-

f (x)

F (x)

=

et ce qu'est F () de = o à `,!,

La suite des opérations dépend des conditions imposées aux extrémités. Supposons donc que. le mouvement imprimé à l'origine de la tige, répondant à x = o, soit représenté par l'équation (t),

('4)

E, (t) étant une fonction donnée du temps. L'autre extrémité

IF (X)/

en désignant par W (x) l'intégrale S

/à

de la tige étant entièrement libre, on a (x) dx. (15)

du

dx

Pour x1.