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SOLUTION DE DIYERS PROBLÈMES

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et je me propose de déterminer u, de telle manière que, dans les équations de condition relatives aux extrémités, cette fonction u, fasse disparaître les fonctions du temps dont il s'agit. Alors la recherche de U sera ramenée au problème ordinaire, c'est-à-dire que pour 1.1 les conditions relatives aux extrémités seront invariables, et U devra en outre satisfaire à l'état initial modifié par u1. Supposons que les fonctions arbitraires du temps dont il s'agit ne contiennent que des termes périodiques. C'est bien, en effet, ce qui arrive presque toujours dans les applications, particulièrement clans les machines. Soit, par

DE MÉCANIQUE.

2. 6

constants ou proportionnels à la première ou à la deuxième puissance de t, on les fera disparaître par une simple adjonction à u comme on le verra clans les exemples qui suivent.

S'il entrait dans l'expression des fonctions du temps

données des termes en exponentielles, on les ferait disparaître de même. Soit maintenant l'équation aux différences partielles qui régit les vibrations transversales des verges, et qui est (3)

exemple, I sin wt

l'un de ces termes, entrant dans l'une quelconque des équations de condition, I et p étant deux constantes. J'introduirai, en conséquence, dans la valeur de u1, une expression correspondante telle que A, sin

wx

+13, cos ---) sin wt,

qui satisfait d'elle-même à l'équation (1) et qui :contient deux constantes indéterminées A, et B,. l'en fais autant pour chaque terme périodique entrant dans l'une ou l'autre des équations relatives aux extrémités, de sorte que u, contiendra deux fois autant de constantes indéterminées qu'il y a de ces termes dans l'une ou l'autre des Équations de

condition, et, comme ces dernières, d'après la nature de l'équation (1), sont elles-mêmes au nombre de deux, on aura précisément le nombre d'équations nécessaire pour déterminer toutes les constantes A B etc., en égalant séparément à zéro tous les facteurs des termes périodiques qui se trouveront dans les équations de condition, lorsqu'on y

où,1c2 ,est un nombre .généralement très-grand ,:dont la va-

leur ee;

M étant le moment d'élasticité, le poids de l'unité de volume de la verge et g la gravité. On fera encore (4)

= Yi+ Y,

et il faudra que ,y, soit déterminé ide manière à faire disparaître les fonctions du temps des équations de condition qui, dans :ce :genre de question, sont :toujours au nombre de quatre.

Ici, il faut que, à part les termes constants et propor-

tionnels à la première ou à la deuxième puissance de t, les équations de condition ne renferment:que des termes périodiques, et c'est bien ainsi, en effet, que cela se présente dans les applications. Soit donc, par exemple,

aura substitué u, pour u. S'il se trouvait dans les équations de condition des termes

I cos tot