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dues aux écrasements, et il est clair que parmi ces lignes, celles-là surtout sont devenues prépondérantes qui se trouvaient réunies en plus grand nombre sur un même fuseau. A partir de ce moment, les nouveaux fuseaux d'écrasement

ont donc dû tendre à se placer normalement sur le plus grand nombre possible de fuseaux antérieurs les moins an-

ciens, et avec le temps, cette condition a da devenir de plus en plus importante. Il est donc naturel, pour tracer un système théorique de cercles destiné à représenter les phénomènes, de prendre pour lien de ce système cette condition de perpendicularité multiple. Il resterait, il est vrai, à trouver une raison pour adopter comme base une sévie de quinze grands cercles ajustés pen-

tagonalement ; peut être la perpendicularité multiple estelle destinée à la fournir. Il n'est point impossible qu'en considérant le réseau pentagonal d'une manière abstraite, on arrive à trouver que c'est celui qui se prête le mieux à dériver des cercles les uns des autres, de façon à obtenir le maximum d'incidences perpendiculaires. Il est certain du moins que ces incidences sont très-nombreuses dans le système pentagonal, ainsi que nous le verrons plus loin. Quoi qu'il en soit, nous tiendrons nos deux principes pour directement accordés (le premier, du moins, car le deuxième en est la conséquence évidente) , et nous nous en servirons

pour étudier et classer les catégories de cercles qui s'engendrent successivement; et notre point de départ sera le système formé par quinze grands cercles ajustés pentagonalement, les quinze cercles primitifs ou fondamentaux. Ces grands cercles primitifs, par leurs intersections réciproques, partagent la sphère en 1 20 triangles rectangles scalènes, en tout identiques les uns aux autres. Si un cercle admis à un titre quelconque dans le réseau a son pôle en un point d'un de ces triangles, les points idenques des autres triangles seront les pôles de cercles placés

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absolument dans les mêmes conditions que le premier, et qui devraient au même titre que lui figurer dans le réseau. Nous n'avons donc nul besoin pour faire notre étude de recourir à la sphère entière ; il suffit de considérer un seul 'de ces triangles scalènes. La fig. 5, Pl. VI, représente un de ces triangles en projection gnomonique sur l'horizon de son point D. Nous rappellerons que ces triangles ont leurs tro4 sommets d'ordre bien distincts. Le sommet de l'angle droit H-est l'intersection. rectangulaire de deux primitifs, et ce point est le pôle d'un autre primitif. Au sommet I, trois primitifs se coupent sous des angles de 6o degrés, et au sommet D, cinq primitifs se coupent sous des angles de 36 degrés. En d'autres termes, dans l'agencement des triangles sur la sphère, quatre triangles s'assemblent aux points H, six aux points I et dix aux points D. (Voir l'ouvrage de M. Élie de Beaumont, des notations duquel nous faisons usage ici.)

Soit donc considéré le triangle de la fig. 5. En appliquant notre principe de perpendicularité pour l'introduction de cercles auxiliaires, il est clair que la première classe qui se présentera comprendra les cercles perpendiculaires à plusieurs primitifs à la fois. Mais des cercles satisfaisant à cette condition ne sauraient avoir pour pôles que des intersections de primitifs, c'est-à-dire des points H, D

ou I. Les points H étant pôles des primitifs, ne donnent rien de neuf. Les points I, intersection de trois primitifs, sont les pôles de cercles perpendiculaires à trois primitifs à la fois, et à trois seulement; et comme ils sont au nombre

de dix sur un hémisphère, il s'ensuit qu'il n'y a que dix cercles correspondants : ce sont les octaédriques de M. Élie de Beaumont. Les points D, intersection de cinq primitifs, et au nombre de six sur un hémisphère, sont les pôles de six cercles perpendiculaires, chacun à cinq primitifs à la fois : ce sont les dodécaédripes réguliers: