Révisions de la page | Historique de transcription | Annales des Mines (1866, série 6, volume 10)

RÉSEAU PENTAGONAL.

RÉSEAU PENTAGONAL.

Ainsi la première application de nos principes nous donne seulement seize cercles, qui sont avec le réseau primitif

seront par les pôles de ces cercles, c'est-à-dire par deux

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dans un rapport de symétrie plus intime qu'aucun autre. Ils composent la deuxième catégorie des cercles du réseau, la première étant formée par les primitifs ; nous les appellerons cercles principaux.

Pour aller commodément plus loin, nous allons tracer dans notre triangle les résultats obtenus, c'est-à-dire supposer que les seize cercles principaux ont été tracés sur la sphère, et considérer notre triangle après ce tracé ; nous ob.

tenons ainsi la fig. 6. (Voir Système des montagnes, tome II.) Le triangle fondamental DIE est traversé par un arc de dodécaédrique régulier Hb et par deux arcs d'octaédriques HT et Ta. Comme nous avons épuisé la catégorie des cercles perpendiculaires à plusieurs primitifs, tous les cercles nou-

veaux ne sauraient être perpendiculaires qu'a un seul primitif; mais ayant introduit et défini la catégorie des cercles principaux, nous définirons une nouvelle série de cercles par la condition de perpendicularité sur plusieurs cercles des deux séries précédentes, c'est-à-dire sur un primitif et un ou plusieurs principaux, ou bien sur plusieurs principaux. Des cercles satisfaisant à cette condition auront nécessai-

rement leurs pôles à des intersections de primitifs et de principaux ou de principaux entre eux. Or on voit sur la fig. 6 qu'il n'y a dans un triangle scalène d'autres intersections de cette espèce que les points T, a et 1). La série actuellement à l'examen ne se compose donc que de trois espèces de cercles ayant leurs pôles en T, a et b; et comme ces points, appartenant chacun à deux triangles adjacents, sont au nombre de trente sur un hémisphère, chacune de nos trois espèces comprendra :trente cercles. Au point T se coupent deux octaédriques et un primitif; les cercles correspondants seront donc perpendiculaires à deux octaédriques et à un primitif; par conséquent ils pas-

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points I et un point H : ce sont les dodécaédriques rhomboïdaux de M. Élie de Beaumont. De même les cercles qui ont les points a pour pôles, sont perpendiculaires à un octaédrique et à un primitif, c'est-àdire qu'ils passent par un point I et un point H. Ceux qui ont pour pôles les points b sont perpendiculaires à un pri-

mitif et à un dodécaédrique régulier, c'est-à-dire qu'ils passent par un point H et un point D. Ces trois espèces de cercles coïncident avec les bissectrices

des trois angles d'un triangle rectangle scalène : les cercles

à pôle T sont bissecteurs de l'angle droit; les cercles à pôle a, de l'angle en I, et les cercles à pôle b, de l'angle en D.

Il est curieux de remarquer que ce caractère les réunit en une même catégorie, tout connue le caractère de perpendicularité. Il y a dans cette coïncidence un témoignage tout particulier de leur relation intime avec la symétrie pentagonale : nous les appellerons cercles semi-principaux ; ils forment notre troisième catégorie. De même que nous avons adopté pour caractère des cer-

cles semi-principaux d'être perpendiculaires à plusieurs cercles des deux premières séries, nous prendrons pour définition des cercles d'une quatrième catégorie d'être perpendiculaires à plusieurs cercles des trois premières. Pour parvenir à les compter et classer commodément, nous allons user du même artifice qui nous a déjà servi, et supposer que tous les cercles précédents ont été tracés sur la sphère, ce qui d'ailleurs est très-facile dans une. projection gnomonique. Prenant alors un triangle fondamental avec tous les cercles qui le traversent, nous obtiendrons la fig. 7, PI. VI, où les intersections des cercles tracés vont nous fournir tous les pôles des cercles cherchés. Mais auparavant nous devons faire observer que toutes les intersections qui y sont figurées ne résultent pas seule-

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