Révisions de la page | Historique de transcription | Annales des Mines (1866, série 6, volume 10)

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RÉSEAU PENTAGONAL.

RÉSEAU PENTAGONAL

ment de l'épure, ce qui Serait d'ailleurs une démonstration pratique suffisante. Elles résultent également de toutes les longueurs d'arcs et valeurs d'angles de la figure, qui, calculées de plusieurs manières différentes, se sont trouvées identiques à quelques centièmes de seconde près. C'est là une démonstration fastidieuse, mais positive, et elle a été suivie jusqu'au bout. Plusieurs des points d'intersection de la fig. 7 sont désignés par une lettre ou une autre dans l'ouvrage de M. Élie de Beaumont; mais aucun d'une manière suivie et méthodique, sauf toutefois le point c, intersection rectangulaire d'un octaédrique et d'un dodécaédrique rhomboïdal. Nous avons donc cru, pour la présente série, devoir mous écarter de la notation du savant auteur, pour ranger ces points clans des catégories symétriques. Nous employons pour les désigner les lettres a, 6, y, ô, s, avec des indices ; c s'applique aux points situés sur les primitifs, appartenant par 'consé-

considérant la quantité et la nature des cercles des trois

quent à deux triangles contigus et au nombre de 5o par .hémisphère seulement. 6 s'applique aux points situés sur l'arc de dodécaédrique régulier ; à ceux qui se trouvent sur les arcs d'octaédrique; ô et E -aux intersections de cercles semi-principaux entre eux., ô :aux intersections multiples, E aux intersections simples. Ces diverses catégories de points étant dans l'intérieur des triangles fondamentaux, il y en a Go par hémisphère. ,Quant aux indices, la fig. 7 u'a pas besoin de commentaire. Nos points étant ainsi nommés, il n'y a qu'à les passer en

revue pour classer et .énumérer les cercles dont ,ils sont les

pôles. En .regardant sur la figure quelle est la nature 'des arcs qui s'y croisent,,on voit à combien et à'quelles espèces earcs des trois premières séries, 'les cercles considérés sont perpendiculaires, et par suite par combien de points H, D,, I, T, b, a ils passent ; cette dernière propriété va servir à les ,dénommer, et le classement se fera en considérant la quan-

tité et la nature de ces points, ou en d'autres termes, ,en

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premières séries que les cercles examinés se trouvent couper normalement.

Commeles espèces de cercles compris dans la 4e catégorie sont assez nombreuses, nous avons cru devoir y introduire des subdivisions. Il résulte de la définition de la e série, comparée à celle de la troisième, qu'elle ne peut contenir aucun cercle normal à plus d'un cercle des deux premières catégories. Mais un cercle de la 4e série peut être perpendiculaire à un primitif ou principal et à un ou plusieurs semi-principaux. Il s'établit par cela seul trois divisions qui sont les sui-vantes 1° Cercles perpendiculaires à un primitif et à au moins

un semi-principal ; ils auront leur pôle sur un primitif: ce sera donc un des points 2° Cercles normaux à un primitif et à au moins un semiprincipal ; se subdivisant d'après la nature du principal en i° Normaux à un clodécaédrique régulier, pôle en un point p ;

Normaux à un octaédrique, pôles en des points y. Les trois divisions paraissent être en bloc d'égale valeur comme symétrie, sauf peut-être une certaine prééminence pour la première, où chaque espèce de cercle est réduite au nombre de 5o au lieu de 6o. 2°

Mais ces divers cercles n'épuisent pas la 4e série. reste des cercles perpendiculaires à plusieurs semi-principaux seulement, ayant leurs pôles en des points ô ou r:.; or, là où les sen-fi-principaux ne se coupent que deux à, deux (point s), il nous semble que la condition de symétrie se trouve inférieure à la moins symétrique des combinaisons précédentes ; pour avoir une division de symétrie à peu près égale, nous la formons exclusivement avec les points à intersections multiples, c'est-à-dire les points ô. 11 nous reste alors pour épuiser la définition de la 4e sé-