Révisions de la page | Historique de transcription | Annales des Mines (1867, série 6, volume 11)

DU RÉSEAU PENTAGONAL. 1 62

POIDS DES DIFFÉRENTS CERCLES

poids par une méthode nouvelle que je vais exposer sommairement. de la sphère en « Le réseau pentagonal divise la surface symétriques deux 120 triangles rectangles scalènes égaux et de l'un à deux. Un point quelconque pris dans l'intérieur de ces triangles a son homologue dans tous les autres ; d'où il résulte qu'il y a toujours sur la surface de la sphère quelconque; par exem120 points d'une espèce déterminée des ple, il y a 120 points c. Cette règle présente cependant exceptions apparentes. Si l'on prend un point sur les contours de l'un des 120 triangles rectangles scalènes, il ap-

partiendra à 2 triangles à la fois, et il n'aura que 59 homologues; de sorte qu'il n'y aura dans tout le réseau que 6o points de son espèce. Mais ce point, par cela seul qu'il appartient à 2 triangles, doit être considéré comme double;

de on peut le regarder comme résultant de la réunion

triangles con2 points qui, placés symétriquement dans 2 et à tigus, se sont rapprochés de manière à se confondre n'en plus former qu'un seul, placé sur la ligne de séparadu tion des 2 triangles. Ainsi, parmi les points principaux T qui 6o points b, 6o points réseau, il y a 6o points a, peuvent être considérés respectivement comme composés qu'ils de 2 points a, de 2 points b, de 2 points T, de manière représentent 120 points et, 120 points b, 120 points T, qu'on infiniment peut supposer placés deux à deux à des distances

H petites. On comprendra de même que chacun des 5o points placés à la réunion des angles droits de 4 triangles rectangles scalènes peut être décomposé en 4 points il; que chacun des 20 points I placés à la réunion des angles de Go degrés de 6 triangles rectangles scalènes peut être décomposé en

6 points i, et que chacun des 12 points D placés à la réunion des angles de 36 degrés de 10 triangles rectangles scalènes peut être décomposé en 10 points D. deux à « Les points principaux du réseau étant placés deux aux extrémités d'un même diamètre, il suffit pour l'ob-

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jet actuel d'en considérer la moitié, c'est-à-dire ceux seulement qui sont compris dans un hémisphère; cela dispense d'énoncer d'aussi grands nombres et éloigne certains embarras. « Le réseau pentagonal renferme 362 points principaux, et chaque hémisphère en renferme 181, savoir : 6 points D, Io points 1,15 points II, 5o points T, 3o points a, 50 points b et Go points c, et ces 181 points principaux peuvent se décomposer en 420 points simples, savoir : Go points 6o points Î, etc. « Si l'on joint par un arc de grand cercle chacun des points 420.419 b, c. à tous les autres, on a simples b, 2 87,990 cercles qu'on peut appeler simples, parce que chacun d'eux est déterminé par la seule condition de passer par u points simples. « Si l'on joint chacun des 181 points principaux d'un hé181.18o misphère à tous les autres, on aura en principe 2

16,290 cercles, nombre qui devra être réduit considérablement si on veut le ramener à celui des cercles réellement distincts, parce que les cercles ainsi obtenus se superpose-

ront en partie les uns aux autres. « Ces deux systèmes de cercles, en nombre si différent, ont entre eux cependant les rapports les plus intimes, car le premier système deviendra le second si on suppose que parmi les points simples f), I, I, T,..., désignés par des lettres pointées, les homologues se réunissent entre eux de manière à recomposer les points principaux D, I, 11, T,..., dont ils ne sont pour ainsi dire que des subdivisions. Seuse lement, dans cette réunion, les cercles bf), superposeront en nombre plus ou moins grand, et on pourra mesurer l'importance des cercles du réseau au nombre des cercles simples qui se seront superposés pour les former. Les seuls cercles qui ne présenteront pas de superpositions