Annales des Mines (1867, série 6, volume 11)
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A L'HORLOGERIE.
APPLICATIONS DE LA MÉCANIQUE
244
V 2cz p
Pour trouver la durée T. qui sépare deux positions successives du pendule correspondant respectivement à un
et la formule (5) peut se mettre sous la forme (7
) dl=
n
_
01a2 . dû
cos a)(cos
(cos
cos (3)
(cos 0 +
maximum et à un minimum de 0, il faut intégrer l'équation
1 + d:* coscos cosa + cos [3
)
précédente entre les limites 7 = o, = , et l'on trouve, 2
en 'continuant l'approximation adoptée,
Si l'on substitue à 0 la variable 7 définie par la relation ^C =
cos() = COS 2. sin' a + cos i3 cos2a,
(8)
les maxima" de 0 correspondront aux multiples pairs et les
minima aux multiples impa4 de
et l'expression ci-des-
9)
(8)
dt = an
÷ sin20 (ccs Vcos2z
cos213 + 4 cosa cosri + 2 (1 ±d±)-1-- (c0s2c0s20)c0s2a
est égal au cinquième du carré de la tangente de l'angle formé par la droite GO, avec une tangente à la sphère par-
tant du point de suspension, angle que l'on s'arrange de manière à rendre beaucoup plus petit que O; de sorte que nous pouvons sans grande erreur ne conserver que les termes du second ordre en
sin'o
= a'02 ; ce qui revient à sup-
poser que a' est du troisième ordre, et que l'on peut le négliger devant l'unité. L'équation (8) devient alors
(.'
16 (cc +
e
+ 2,i, +
2
2)1
T=
YL
24
'6 (2 ±
cos (3)clo-
Avant d'aller plus loin, nous remarquerons que dans les applications i° les angles ot et [3 sont assez petits pour que l'on puisse en négliger les puissances supérieures à la seconde ; 2° en supposant la sphère homogène, le rapport a'
dt =n [1 +
cr g
Le temps T correspondant au passage d'un maximum au suivant, égal à 27, aura par suite pour expression
sus deviendra a
245
R') cos 2.1 [i +cos'
1
8 (a cos'cr
17.'sin2a)
'
OC
Si le diamètre de la boule est assez petit pour que l'on puisse supposer a' nul, on tombe sur le cas du pendule simple, et l'on a
T= Si, de plus, les angles 2 et p sont assez petits pour que l'on puisse en négliger les secondes puissances, la durée T sera la même que pour une oscillation pleine du pendule. Pour un même angle d'écart maximum a, l'isochronisme du pendule conique sera moins satisfaisant que s'il exécutait des oscillations planes, ou si [3 = o. Et pour être sûr d'obtenir la même approximation dans les deux cas, il faudra faire en sorte que dans le premier l'écart maximum soit
égal à celui qui est relatif au second multiplié par 2
En revenant à la réalité et au pendule à boule, on voit
a' fre sin'e
par la forme de l'expression (9) combien l'isochronisme des révolutions laisse à désirer, et combien il convient de donner la préférence au pendule composé, oscillant autour d'un axe horizontal.