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Annales des Mines (1868, série 6, volume 14)

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COURBURE DES SURFACES.

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COURBURE DES SURFACES.

On a proposé de mesurer la courbure d'une surface en un

-) 2 0

point donné soit par le produit -, soit par la moyenne 1 (jleiL m B.

,

2 sin' 1.1.

(

mier cas, on serait conduit à attribuer une courbure nulle etc.) (*); à toute surface développable (cylindre, cône, courbure serait nulle pour toute surdans le second cas, la auraient face convexo-concave dont les lignes de courbure qu'on doit même rayon. Telle n'est pas ,é,videmmentridée se faire de la courbure d'une surface. Concevons, autour d'un point M, toutes les sections normales que l'on peut tracer .sur une surface, et donnons à, chacune de ces lignes une longueur 1, variable avec l'orientation de la section. L'ensemble, de ces longueurs ou étenM, une étendue dues linéaires détermine, autour du point ce qui revient au même, superficielle qui est mesurée, ou, dp.. D'après cela, si l'on veut définie par l'intégrale 7.

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2

0

s'élever de la notion de la courbure linéaire à celle 'de la l'on s'élève courbure superficielle de la même manière que l'étendue l'étendue linéaire à celle de de la notion de l'on devra mesurer ou désuperficielle, il est clair que. finir la courbure d'une surface au moyen de l'intégrale donne tout de suite .-.1 Szit--(11'-`-, . Et le théorème d'Euler nous

23o y-

des C') M. Gauss, qui a proposé, comme mesure de la courbure courbures extrêmes, convient lui-même surfaces, le produit des

qu'à consulter l'analogie, ce système de mesure est défectueux. ajoute-t-il, pourvu que l'on s'entende ? Il nous Mais qu'importe, semble, au contraire, que s'écarter des lois de l'analogie, c'est courir le très-grave danger de s'entendre plus difficilement, et, en jetant une certaine confusion dans la science, de rendre par cela même plus malaisées la démonstration des vérités acquises et surtout la recherche des vérités nouvelles.

8

sin'

cos' p.

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des courbures extrêmes. Mais, dans le pre-

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,i7=

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'

2

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5AB

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Quelques théorèmes, que l'on ne jugera peut-être pas dépourvus d'intérêt, se déduisent immédiatement de cette définition de la courbure des surfaces. 1.

La courbure d'une surface ne peut être- nulle que si les

deux rayons de courbure principaux, et par suite tous les rayons de courbure, sont nuls, auquel cas la surface se réduit à un plan. En effet, on a 2

1

1

5AB

A2

.

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2

2(1

1

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13)

1

1

(71

1

«1-3)2

2 . Parmi toutes les surfaces applicables, le minimum de la courbure appartient à la surface dont les sections normales présentent une courbure uniforme. (On appelle surfaces applicables celles qui résultent de la déformation

d'une surface donnée, supposée flexible niais inextensible le

produit'ABdans toutes les surfaces ainsi obtenues, de-

meure invariable, d'après un théorème de M. Gauss.) En effet, on a 1

2

A'

3AB

B2

'

A

3AB

3. Lorsque deux surfaces sont telles que les sommes Te ont de part et d'autre, en deux points donnés, la même valeur, la surface qui possède la courbure la plus forte est celle pour laquelle les courbures principales diffèrent le moins ; la courbure maximum appartient, dans cette catégorie de surfaces, à celle dont les sections normales offrent une courbure uniforme. Tom XIV, '868.

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