Annales des Mines (1868, série 6, volume 14)
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COURBURE DES SURFACES. COURBURE DES SURFACES.
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pourra être définie, soit par deux des trois coordonnées dont l'une est (x, y, z) soit par deux autres variables, l'orientation de la section norla distance MM', et l'autre, On aura d'ailleurs, pour male à laquelle 111' appartient. passer de l'un de ces systèmes de coordonnées à l'autre, les formules de transformation suivantes, dans lesquelles désigne le rayon de courbure de la section normale MM', et G la projection de la longueur MM' --= ). sur le plan tangent
bles, entre les limites o et 1. De cette manière, x, y et z deviendront des fonctions déterminées fie ) Il et w, et comme il est inutile de conserver, dans les valeurs de x et de y, des termes du troisième ordre en ), (attendu que les termes de cet ordre sont négligés dans la valeur de z), on pourra écrire comme il suit les formules de transformation 1
A
avec
z -...._
= G' ± z".
z
x ,-- ), cos ti.
1 y _=.. ), sin p.
c,0s' p.
x =-- G cos p.
y = G sin Et
elle-même susceptible de prendre toutes les valeurs possi-
2y
Si la surface pouvait être confondue avec le plan tangent en M, l'attraction totale se réduirait évidemment à une ré-
sultante H dirigée suivant la normale, et dont la valeur serait indépendante de la forme de cette surface libre. Cela posé, imaginons qu'on mène en M le plan tangent, et supposons d'abord que la surface soit concave. L'attraction totale ne différera de H qu'en raison des attractions exercées par les molécules comprises entre la surface libre et le plan tangent. La résultante h des attractions de ces molécules sera d'ailleurs normale à la surface, en vertu de la symétrie que la masse liquide présente nécessairement par rapport à la normale, du moment qu'il est permis de remplacer chacune des sections normales de la surface libre par son cercle osculateur. Il est clair, en outre, que cette résultante agira en sens contraire de H. Afin d'évaluer h, nous décomposerons l'intervalle compris entre le plan tangent et la surface au moyen d'une
Les équations const.,
par des paramètres variables
A
et
w
la quantité w étant
A
'in" p.
+' b) w = oonst.
p.= const.,
dérer comme orthogonales, dans les limites d'approximation
où nous nous plaçons. Pour le démontrer, désignons resH les angles que font pectivement par [F., w], [w, deux à deux les trois trajectoires déterminées par les intersections des trois surfaces en un point quelconque N. On aura
cosW, w] Idx\=
,
dx dx
dy dy
dz
dp. clw
dp. dw
dw
idy\=
\C-11-,t)
-
+
/dy\2
Iclz\=
dx dx
(W))
-c-171)
dy dy 715.
cos>, )1
/dz\
c-17-tv)
dz dz d:u
(61.2.1)2+(ce2+(c.udz)2
Ww) V(d.E2_,_((c712+(.7w_dz)2 dy dy dx dx
i
w
cos' p.
2
'
correspondent à trois séries de surfaces qu'on peut consi-
série de surfaces analogues que nous obtiendrons en rempla-
çant, dan S les équations précédentes, les constantesA- et B-
A2le
dX
COS[X, IL] =
dX
IX
Tl- -5s dp.
/ /dr \ 2
1_ (y) 2 (d.,C)2
dz dz
+ Ydi ()clz\
My\
édz=