Annales des Mines (1875, série 7, volume 7)
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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
Considérons, pour plus de généralité, l'équation diffé-
rentielle du In'ôme ordre
dv 0 + toY)v + + t le!,1 71,-1-1+ dm,
e
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
de reconstruire l'équation différentielle du mie"' ordre à laquelle doit satisfaire la fonction génératrice de la série. 11 suffira, en effet, de mettre le numérateur F(n) sous la (n m) forme to + t,(n 1) + tni(n 1) (n 2)
et le dénominateur [(n) sous la forme so sin + s,,,n(n 1) (n m 1); par là seront déterminés
(sut 4- tmy)y-
dans laquelle c, so, to désignent des coefficients numériques arbitraires. Imaginons qu'on développe l'intégrale v suivant les puissances croissantes de y, et posons, en introduisant de nouvelles constantes co, c..... c,
les coefficients numériques du second membre de l'équation différentielle; quant à la constante c, sa valeur sera cost. Dans le cas présent, nous aurons
4 + 6(n--1)±(n---1)(n---2) 8+ ion + 2n(n i)
Co =
V
n(n + 5) 2(n+ 2)-
0
l'équation différentielle prendra la forme suivante
te) Y ce+ (si+ ty) n(n 1)
ne
'
de là l'intégrale particulière qu'il s'agissait d'obtenir
v=
n+5
11 est facile de voir que le rapport
[s0+ sin+ ...+ s,n(n
c,[t 0+ t i(n
( yy.
+ (n
till L
2)--I
)
m
De là C = CoS 0 +
I 21
)...(nm
11
(n
+ 5) yest tout
(n + 2 ) 2 2
au plus égal à - ; la convergence de la série est donc assurée. 2
1(n 1) (n 2) (n m)1}.
Cette équation devant subsister quel que soit y, on en
On peut, dans certains cas, satisfaire, avec une exactitude suffisante, à l'équation (i 8), au moyen d'une fonction de cette forme
conclut
vo V ="---
t i(n 1) + ...+ t,(n
to C
so + s
f se(n
1
(n 2) (n m) 1)... (nm± 1)
Réciproquement, étant donnée une fonction v qui s'exprime par une série indéfinie de termes cny" tels que le .
rapport -s--c, soit représenté par le quotient de deux polyen-1
nômes algébriques du mième degré F(n) et f(n), il sera aisé
uy'
où vo et u désignent des coefficients numériques convenablement choisis. En effet, on a successivement
dvu
-Vo (1 uy) dy
dy2
=v0
-=-- Vo
2 U2
° (ony)3
r (m + i)u'n
dn'v dym
d'v
( o + u)-1