Annales des Mines (1875, série 7, volume 7)
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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
sultat reproduit, sauf quelques différences dans les notations, l'équation de Laplace rectifiée par la substitution de sin à tang es. Il résulte de cet accord que si l'on considère un canal infiniment étroit pp' occupant l'axe du tube, ce canal est isolément en équilibre sous l'influence de son
petit vers l'arête Oy, on obtiendra, sur le plan bissecteur, une nouvelle ellipse plus oblongue ; au même angle cp, si nous admettons que le petit axe demeure invariable, correspondront des valeurs identiques de ; z aura d'ailleurs subi une variation dz donnée par l'Équation
propre poids et des actions attractives exercées par les deux ménisques sur les points extrêmes p et p'; théorème remarquable, qu'on ne peut évidemment, sans une véritable pé-
dz = da + cos co d«.
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tition de principe, prendre pour point de départ. Considérons maintenant une. 44. Lames inclinées. goutte de fluide entre deux lames qui se touchent par deux de leurs bords supposés dans une situation horizontale; l'expérience indique que cette goutte tend à se rapprocher de l'arête de l'angle dièdre 22D` formé par les deux laines, et qu'il faut, pour l'équilibre, que l'inclinaison V du plan
- bissecteur de l'angle dièdre atteigne une limite qui dépend
de la position de la goutte. D'autre part, la forme de la goutte, d'abord sensiblement circulaire et analogue à celle d'une poulie, devient, « à mesure qu'elle monte, ovale et de « plus en plus oblongue (*). » Nous supposerons que la goutte liquide dessine exactement une même ellipse sur chaque paroi. Soit Oy l'arête de l'angle dièdre ; menons Oz perpendiculaire à Oy et passant par le centre C de la section produite par le plan bissecteur de l'angle dièdre, section que nous supposerons identique aux ellipses tracées par la goutte sur chaque paroi. Les coordonnées (y, z) d'un point quelconque de l'ellipse intermédiaire, dont nous désignerons les axes par 2g. et 4, seront données, en fonctions de la distance OC a et d'un angle auxiliaire p, par les formules -suivantes y
13 sin cp,
z
Chaque élément ds de chacun des périmètres de contact aura produit un travail dont l'expression, en désignant par 0 l'angle à la paroi, est H cos 0 dydz, ou I-I cos 0 cos pd?dz. A ce même élément linéaire correspond un vocos ydydz. lume engendré 2z tang e-dydz, ou 2z tang Puisque le volume 11 de la masse liquide est invariable, la somme des volumes engendrés doit être nulle, pourvu que l'on ait soin de prendre avec des signes contraires les éléments de volume situés dc part et d'autre du centre C. D'autre part, le travail dû aux attractions qui s'exercent dans le voisinage des parois doit détruire le travail dû au poids total de la masse, dont le centre de gravité subit un déplacement da. On a donc ces deux conditions, évidemment nécessaires pour l'équilibre, I
S21,
+ a cos y-) (da + cos yda) cos d= o
Cela posé, on a cos pd?
cos' pdp
o,
«da (
S 21, o
cos ydy
ada =-- o,
27,1-43 cos Oda
U sin Vda ,
d'où
sin V = (*) NEWTON, Optique, quest. 31.
,
o;
en conséquence, les équations d'équilibre deviendront
a + a cos y.
En imprimant à la goutte un déplacement infiniment
U sin V da.
,dip cos o S't (da + cos (pda) cos ydy
21,1-1[3 cos 0 a