Annales des Mines (1875, série 7, volume 8)
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DE ÉLASTICITÉ.
PRINCIPES DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE.
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mentaire change de nature quand on passe du cristal au solide amorphe, il nous paraît nécessaire de conserver au
SUR LES PRINCIPES DE
LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'ÉLASTICITÉ. Par M. H. PESLIN, ingénieur des mines..
Les quatre premières leçons de l'ouvrage de Lamé sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides, sont consacrées à la détermination de la valeur de la force élastique dans le cas le plus général et à la simplification de son expression pour les milieux d'élasticité constante. L'exposition de Lamé entraîne des calculs assez longs, et il nous a paru qu'il y aurait intérêt à les simplifier ; c'est ce que nous allons essayer de faire en partant de l'étude géométrique de la déformation que peut subir l'élément de volume d' un milieu élastique. L'exposition donnée antérieurement à cette théorie par Navier, Poisson et Cauchy est beaucoup plus directe que celle de Lamé; mais elle suppose que l'action de deux
molécules voisines peut être représentée par une force unique, fonction de la distance, dont la direction est celle de la lignequi joint les centres des molécules. Les phénomènes de la cristallisation, ainsi que Lamé l'a fait remarquer, paraissent contraires à cette hypothèse; car ils montrent que l'action moléculaire varie non-seulement avec la distance, mais avec l'orientation des axes de la molécule. Ils semblent même prouver que l'action de deux molécules ne peut être réduite à une force unique et qu'elle comprend un couple qui, dans la cristallisation, oriente
l'axe de chaque nouvelle molécule venant s'ajouter au cristal. Rien n'autorisant à supposer que cette action élé-
problème toute la généralité que lui a donnée Lamé. Les deux seules hypothèses que nous admettrons seront les suivantes : 1.0 Nous n'étudions le problème de l'élasti-
cité que dans les limites, variables suivant les divers mi-
lieux, où les forces élastiques peuvent être supposées proportionnelles à l'amplitude des déformations. 2° Nous supposons que les déplacements éprouvés par les diverses molécules du milieu élastique peuvent être représentés par des fonctions continues des coordonnées qui définissent la position de ces molécules. Afin de bien préciser le sens que nous attribuons à la seconde hypothèse, dans le cas où le milieu élastique est
discontinu (cas qui paraît être le plus général dans a nature), nous rappellerons les explications données par Lamé :
« Si le milieu est composé de points matériels non con-
tigus qui se déplacent réellement, les points géomé« triques situés sur les intervalles qui séparent les molécules peuvent être considérés comme se déplaçant aussi. On conçoit, en effet, que si les déplacements de toutes
les molécules étaient observés et mesurés, on pourrait « déterminer par l'interpolation des fonctions continues qui reproduiraient d'abord toutes les observations et qui donneraient en outre les déplacements pour les points géométriques non occupés par la matière. Ce sont ces fonctions continues que nous considérons. » (Leçons sur l'élasticité, p. 28.) Ceci posé, considérons un des points du milieu élastique
x, y, z, et autour de ce point imaginons que l'on décrive une sphère de rayon dB infiniment petit. Je vais prouver que, dans la déformation la plus générale du milieu élastique, cette sphère sera transformée en un ellipsoïde. En effet, soient X, Y, Z les coordonnées, dans le milieu élastique