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DE L'ÉLASTICITÉ.

PRINCIPES DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE

dante une direction unique dx, dy dzi (ainsi, du reste, qu'il résulte des équations (1) qui sont du premier degré), la proposition inverse est également vraie. Il est aisé d'en déduire, comme cas particulier, que les trois axes de l'ellipsoïde (4) ont pour droites correspondantes avant la, déformation trois droites rectangulaires. Je supposerai que ces dernières soient prises pour axes des x, y, z, et comme je devrai alors avoir correspondance entre les axes des x et des X, des y et des Y, des z et des Z, c'est-à-dire : dy =o,

dz= o pour dY

o, dZ = o, et ainsi de suite, les

six

coefficients différentiels

dij\ \dX)

( dz,\

( dx\

(dz\ (dx\ (dy\

clX)

d'Z)

seront nécessairement nuls. Ainsi, par suite d'un choix convenable des axes coordonnés, je puis réduire les équations (1) exprimant la déformation élastique dans un rayon infiniment petit autour du point considéré, aux suivantes : dx (6)

(c-u-dX) dX,

dy = ( 67.Ï{) 2; -=

dz Z

dY ,

dZ.

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Supposons d'abord le cas particulier où le milieu élastique admet pour plans de symétrie les trois plans principaux de l'ellipsoïde de déformation (fig. 1, Pl. III) et considérons une aire située dans l'un de ces plans yox et symétrique par rapport aux axes ox et oy, je dis que la force élastique développée sur cette aire 01 par la déformation est normale à son plan yox. En effet, la constitution du milieu élastique est supposée telle qu'il admet pour plans de symétrie les plans zoy, zox; d'autre part, la déformation à laquelle il est soumis admet aussi pour plans de symétrie les plans zoy, zox, qui sont des plans principaux de l'ellipsoïde de déformation. Donc si nous décomposons l'aire 0, en éléments égaux dx dy, et si nous composons d'abord les forces élastiques relatives aux éléments symétriques dont les centres sont m m,, 111.3, ??21, nous verrons immédiatement : 10 que la résul-

tante des deux forces élastiques élémentaires (*) qui s'exercent aux points an, et m, est nécessairement comprise dans le plan zoy ; s° qu'il en est de même de la résultante des deux forces élastiques qui s'exercent aux points ni, et m,

et par suite de la résultante générale des quatre forces

élastiques élémentaires considérées ; 30 que pour une raison analogue, cette résultante générale doit être également comprise dans le plan zox, et qu'enfin sa direction ne peut être autre que celle de l'axe oz, intersection des plans zox et zoy.

Nous venons de montrer que la déformation élémentaire la plus générale d'un milieu élastique pouvait être représentée soit par la sphère se transformant en un ellipsoïde,

soit par un certain cube circonscrit à la sphère se transformant en un parallélipipède rectangle à trois côtés inégaux. Il nous sera aisé de passer de là à l'expression la plus générale de la force élastique, à l'aide du premier de nos deux principes, celui de la proportionnalité entre la force élastique et la déformation.

Les solides homogènes et d'élasticité constante doivent, par définition, présenter une symétrie parfaite autour de chacun de leurs points, pour tout ce qui concerne,les propriétés élastiques. Ils doivent donc jouir de toutes les pro(*) Si l'on admettait que l'action élastique 61émentaire comprend un couple, on verrait de même que le couple résultant des quatre couples s'exerçant sur les éléments ini, m,r, ni, et m est nécessairement nul.