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DE L'ÉLASTICITÉ.

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PBINCIPES DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE

quée au centre I de la face parallèlement à l'arête AB du cube, et dont la valeur est donnée par la formule (8)

(

a

-

-- A)2 .

Ainsi, dans ce cas les forces élastiques développées par la déformation sont parallèles aux faces sur lesquelles elles s'exercent ; ce sont des tractions. il est facile de passer des résultats précédents aux formules générales de Lamé. Soit un milieu élastique homogène et d'élasticité constante, soumis à des forces quelconques, et supposons que sous l'influence de ces forces il ait subi une déformation déterminée; nous cherchons l'expression des forces élastiques que cette déformation développe sur les faces du cube élémentaire dxdydz. Dans la déformation, le cube élémentaire est devenu un parallélipipède à arêtes inégales et à angles dièdres différents de 900; comme les forces élastiques ne dépendent évidemment que de l'état final, on peut supposer que la déformation se soit faite en deux périodes successives et que dans la première

les arêtes aient changé de longueur, les dièdres restant égaux à go°, dans la seconde les dièdres aient varié, les arêtes restant constantes. Les forces élastiques développées par la première déformation sont six forces normales aux

faces du cube dxdydz, deux à deux égales et contraires, dont les expressions rapportées à l'unité de surface sont d'après l'équation (7) du

N, = A (---d N, =- A

N=A

du

dw

y

4- dz)

(du

dtv\

(d u

m az) _j_ dv\

i4i

mation sont douze forces parallèles aux faces du cube sur lesquelles elles s'exercent, qui se partagent en trois groupes de quatre forces égales et constituant deux couples égaux de sens opposés. Leurs expressions rapportées à l'unité de surface sont d'après l'équation (8) C

A

2

T,

T3 =

C-A

a

C-A 2

Or a, est la variation du dièdre dont l'arête est dx, ou encore si l'on néglige les termes du second ordre, c'est la variation de l'angle formé par les projections des arêtes dy

et dz sur le plan de yoz. On reconnaît immédiatement à l'inspection de la fig. 4, Pl. III, que l'angle que fait avec l'axe des z la projection de l'arête dz après la déformation, dv a pour valeur -- et de même que l'angle fait avec l'axe

dz'

des y par la projection de l'arête cly est représenté par

du,

dy -

par suite que l'angle a égal à la somme des deux précédents est donné par la formule du

dw

21= tiz

ay

On obtiendrait de même les valeurs de a,et a,

C

d y' C clz

Les forces élastiques développées par la seconde défor-

Si nous substituons ces valeurs dans les équations pro-