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PRINCIPES DE LA THÉORIE MATHÉMATIQUE

DE L'ÉLASTICITÉ.

cédentes, puis que nous posions suivant les notations de

et par exemple le quatrième qui a trois axes inégaux. Un milieu ainsi constitué admet, en un quelconque de ses points, trois plans de symétrie rectangulaires entre eux ; nous pouvons donc lui appliquer une proposition précédente et conclure que si le cube élémentaire dxdydz a ses arêtes paral-

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Lamé :

A = X,

C=+ d' où A

C

p.,

2

et enfin 0

-

du dx

dv

dw

cly

dz

lèles à l'axe du cristal, la variation de longueur des arêtes sans déformation des dièdres ne donnera naissance qu'à des forces élastiques normales aux faces du cube et dont l'expression la plus générale sera P

(8 est la compression cubique éprouvée par l'élément dxdydz dans la déformation), nous obtiendrons enfin

+ 2p.

du dv

2= ),0 + 2p. aTij, dw

=

2t1 771

dv

dw) (7,;+ 7-y (dw

du

/du

du

7.!1

Ce sont les formules générales que nous cherchions, telles que Lamé les donne (Leçons sur l'élasticité, page 51).

Nous venons d'étudier les lois de l'élasticité pour les mi-

lieux d'élasticité constante; je dirai également quelques mots des milieux à élasticité variable, et par exemple des milieux cristallins où l'élasticité varie suivant la direction du déplacement moléculaire, mais ne change pas d'un point

à l'autre, si la direction considérée reste constante. Prenons d'abord les systèmes cristallins à axes rectangulaires

du dx

dv

dw dz

Cherchons quelles sont les forces produites par la déformation du dièdre. Soit ABCD (fig. 5) la section normale à l'arête du dièdre déformé A qui primitivement égal à go est devenue go' a. Comme toutes les forces élastiques doivent croître proportionnellement à la déformation d'après notre premier principe, elles doivent changer de sens quand la déformation change de signe, quand le dièdre A, a, passe de 90° à 900 + au lieu de passer de go° à go°

(du reste ce principe peut aussi se déduire de ce que, si l'on superpose la déformation go° -I- a à la déformation a, on revient à l'état naturel, et toutes les forces 900 élastiques doivent s'annuler). Or on peut passer du solide u. au solide ArB`C'D' ABCD, présentant la déformation go° présentant la déformation go° --I- a. par une rotation de 180°

autour de l'axe yoy' normal à la face AB, et cette rotation ne change aucunement les conditions d'équilibre du milieu élastique, car, appliquée.: au cube primitif abcd, elle remplace chacun de ses éléments par un élément symétrique semblablement placé, et par suite présentant la même élasticité dans chaque direction (en effet nous avons supposé que les plans yox et yoz étaient des plans de symétrie pour le milieu élastique). Ceci posé, nous pouvons conclure que la rotation qui