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NOTE SUR LE PLAMMÈTRE D'AMSLER.

NOTE SUR LE PLANIMÈTRE D'AMSLER.

494

Or

Donc z _-=

(4)

AI =--

/. d (Sa),

casa'

a0 =

Dans cette équation, al est l'accroissement de a relatif au côté BB', d(aa) est l'accroissement de cet accroissement quand on passe du côté BB' au côté BD'. Cherchons l'expression de aa. Ensuite, nous la différencierons au moyen de la caractéristique d et nous porterons

le résultat dans l'équation (4). aa. est l'accroissement de a quand le planimètre passe de la position OAB à la position OA'B'. Nous allons chercher, pour ce déplacement du planimètre, les déplacements angulaires des côtés de l'angle a. Nous en déduirons la variation aa de l'angle a. Pour avoir le déplacement angulaire du côté CA., prenons le centre instantané de rotation I de la branche CAB. Ce centre instantané est l'intersection du rayon AO et de la perpendiculaire à CAB menée par le point C. A venant en A', la rotation élémentaire autour de I est

495

A A'

AI

ou

as

AI '

car nous avons désigné AA' par as.

D'après le sens de la rotation autour de I, le déplacement angulaire

'as

Donc Sa =

as cos

a

`as

n'

ou =_

(cos a

I

1)*

Prenons maintenant la différentielle de cette expression de aa, au moyen de la caractéristique d. Quand on différencie au moyen de la caractéristique d, as doit être considéré comme constant. On a donc d (ax) .=_--_

as sin

cic`

Substituons cette valeur de d(a) dans l'équation (4). Nous aurons z = ss. sin a. da.

Comparons les équations (1) et (5). De cette comparaison on conclut

`as

w

AI

du côté CA de l'angle a tend à augmenter cet angle a. Quant au déplacement angulaire da côté OA de l'angle a, il est représenté par l'angle A0A.' que je désignerai par aCt. Ce déplacement angulaire SO

du côté OA de l'angle a tend à diminuer cet angle a.

De

ces déplacements angulaires des deux côtés de l'angle a et des sens de ces déplacements, on conclut que l'augmentation définitive aa de a est OS

Sa

as.

AI

,

Lz.

Cette équation (6) est fondamentale. Elle donne la théorie du planimètre pour un quadrilatère infiniment petit limité à deux courbes de glissement infiniment voisines et à deux cercles de roulement infiniment voisins. L'aire de ce quadrilatère est égale à l'arc total de rotation de la roulette multiplié par la constante L (longueur du bras AB).

D'un quadrilatère infiniment petit on passe à un quadrilatère curviligne allongé formé (fig. 7) par deux cercles de roulement quelconques rr,rir,, et deux courbes de glissement infiniment voisines gg, g'g'. Il suffit pour cela de décomposer ce quadrilatère allongé en quadrilatères infi-