Annales des Mines (1882, série 8, volume 1)
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NOTE SUR LE PLANIMÈTRE D'AMSLER.
NOTE SUR LE PLANIMÈTRE D AMSLER.
niaient petits, à l'aide de cercles de roulement infiniment A. chacun d'eux on peut ap_ voisins riri, r"r", pliquer la formule fondamentale
La théorie est donc établie pour un quadrilatère curviligne allongé limité à deux courbes de glissement voisines
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= Lz.
En faisant la somme de toutes les équations obtenues en appliquant à tous cette formule fondamentale, on aura lu)
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et à deux cercles de roulement quelconques.
Passons maintenant à une courbe fermée quelconque. Nous savons qu'elle devra être contenue dans l'espace annulaire compris entre les cercles limites ),), et ),!),' (fig. 2).
Il pourra se présenter deux cas (fig. 8). Dans le premier cas, la courbe fermée et le cercle )i), sont extérieurs l'un à l'autre ; alors le pôle 0 est extérieur à la courbe
LM.z.
Appelons (.0., la surface du quadrilatère allongé
Considérons /.z. C'est l'arc total de rotation de la roulette, quand la pointe parcourt successivement les périmètres complets des quadrilatères infiniment petits, clans le
sens du mouvement des aiguilles d'une montre. Or, tous les côtés qui appartiennent à des cercles de roulement (à part le premier rr et le dernier riri) sont parcourus deux fois et en sens inverse par la pointe, car chacun d'eux est commun à deux quadrilatères infiniment petits contigus. Les rotations de la roulette pour deux trajets égaux parcourus en sens inverse sont évidemment égales et contraires et se détruisent. Il est donc inutile, pour avoir Ez, de faire parcourir à la pointe les côtés qui séparent les uns des autres les quadrilatères infiniment petits successifs. Il suffit de lui faire parcourir les deux côtés relatifs aux courbes de glissement, et les deux côtés relatifs aux cercles de roulement extrêmes rr et ri ri. Il suffit donc de faire parcourir à la pointe, dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, le périmètre complet du quadrilatère curviligne allongé ; en appelant z, l'arc de roulement qui en résultera pour la roulette, nous aurons
fermée. Dans le second cas, la courbe fermée enveloppe complètement le cercle )3, : alors le pôle 0 est à l'intérieur de la courbe fermée.
Examinons successivement ces deux cas.
1" CAS. Le pôle est extérieur à la courbe fermée.
surface limitée par cette courbe (fig. 9) en tranches courbes infiniment minces au moyen de Divisons la
courbes de glissement infiniment voisines, telles que gg,
Soit mnn'm' la tranche limitée à gg et g'g'. Par m menons l'arc mp de cercle de roulement. Par n' meg'g'.
nons l'arc n'g de cercle de roulement. Substituons à cette tranche le quadrilatère curviligne allongé nzqn'p limité à deux courbes de glissement voisines et à deux cercles de roulement: Si nous faisons la- même chose pour toutes les tranches, nous aurons une série de quadrilatères, tels que niqn'p à chacun desquels est applicable l'équation (7) toi = Lzi.
Appliquons aux quadrilatères des diverses tranches cette équation (7) et faisons la somme. Nous aurons Etûi = LEzi.
z1.
Des trois dernières équations on tire = Lzi. (7)
Soit (..) la surface limitée à la courbe fermée. 12 ne diffère de Et.) que par les aires infiniment petites du second
ii