Annales des Mines (1883, série 8, volume 3)
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402 NOTE COMPLÉMENTAIRE SUR LE PLANIMÈTRE D'AMSLER,
NOTE COMPLÉMENTAIRE SUR LE PLANIMÈTRE D'AMSLER
X =-= OC>< 0>< COS' E.
R la longueur OA; Id. Id. p
AB; AC;
Abaissons la perpendiculaire OH sur BAC. OC x cos c =_ OC
le rayon vecteur OB;
cos OCII =_ CH =_ AFI
AC = Rcos-1.
D'où
cc l'angle OAC.
R, L, t sont des constantes qui dépendent de l'instrument p et a sont deux éléments variables qui dépendent l'un de l'autre.
Du centre 0 et avec le rayon
2
p2 O.
Or, dans le triangle OBA on a p2
X = (R Cos a
112 + L2 + el, cos a.
Donc
1)0.
Éliminons maintenant a entre (i) et (2). Nous aurons S -= Lx + (112+ L2+ aL
OB décrivons un
arc de cercle BB'. Soit 0 l'angle au centre correspondant BOB'. En appelant S la surface BOB' limitée à l'arc BB' on a
(1)
403
aurons donc
Désignons par
a
0.
Soit DD' un arc de cercle concentrique à BB' et limité aux mêmes rayons OB, OB'. Ce second arc DD' a le même
angle au centre O. Soit S, la surface ODD' et soit xi l'arc de
roulement de la roulette du planimètre quand la pointe sèche parcourt l'arc DD'. Nous aurons, comme pour (3) (Li)
Lx,
S,
(R2 -1- L2-1- 2L1) O.
2
Retranchons (4) de (3) =--
(R2 + 122+2RL cos cc)0.
S,--= L (x
S
Le planimètre étant dans la position OABC, faisons par-
courir à la pointe B l'arc de cercle BB' (la pointe 0 restant fixe) . Dans ce mouvement du planimètre, l'angle reste constant puisque p ne varie pas. Soit e l'angle que le plan de la roulette fait avec la perpendiculaire à CO. Pendant que la pointe B parcourt l'arc BB', le point de contact de la roulette décrit sur le papier l'arc OC
0,
et la roulette, constamment inclinée de l'angle E sur la perpendiculaire à CO, roule de l'arc OC
0
cos E.
En appelant x cet arc de roulement de la roulette, nous
x1).
Soit to la surface BB'D(D. On a S
S,.
Faisons parcourir à la pointe mobile du planimètre le contour complet du quadrilatère mixtiligne BB'D'D, et cherchons le roulement de la roulette correspondant à ce parcours total. Les roulements partiels relatifs aux côtés B'D' et DB se détruisent él,idemment. Les roulements partiels relatifs aux côtés BB' et 1YD sont x et x,. Ils sont de signes contraires. Le roulement définitif de la roulette est
donc xx,. En appelant z ce roulement total de la lette relatif au parcours entier du périmètre
z Tome III, 1883.
rouBB'D'DB, on a
x 27