Révisions de la page | Historique de transcription | Annales des Mines (1883, série 8, volume 3)

DES TRACTIONS MÉCANIQUES EN RAMPE.

NOTE SUR LE PROFIL D'ÉQUILIBRE 424 On sait que la tangente et la normale en un 2. point M d'une cycloïde (Pl. XVI, fig. 11) s'obtiennent en le

joignant aux points le plus bas T, et le plus haut IN, du cercle générateur. De plus l'arc s= SM, compté à partir du sommet S, est égal au double de la longueur MT de la tangente. On a d'après cela s = tart sin a,

(1)

ds =---- AR cos ad «,

(2)

en appelant R le rayon du cercle générateur et a l'inclinaison de l'extrémité de l'arc. Tels sont les seuls emprunts

que nous ayons besoin de faire à la théorie de cette courbe. Imaginons maintenant que l'on place en un point arbitraire du profil cycloïdal une poulie M' sur laquelle passe un câble de longueur quelconque 111%Mo. Les chariots qui sont attachés à ses deux extrémités occuperont, à chaque instant, des positions conjuguées M et M' satisfaisant à la condition MM, =

ivro.

Les deux brins Mr0M et Molli' du câble traînant varieront donc continuellement de deux longueurs égales

mais en sens contraires, pour passer des positions actuelles M et M' à d'autres infiniment voisines M, et M',. On aura d'après cela à chaque instant S +8'

const.

so

(P

27)) cos a da.

En ce qui concerne le câble, le grand brin M', M, en se raccourcissant de MM, ou *ds, fait disparaître le poids ,-ze ds de cet élément (si ,-eir désigne le poids du câble par unité de longueur) , c'est-à-dire (2): à (-ce, R cos cch. La composante

tangentielle correspondante est 4 R cos ach sin a. ou, d'après (1): s cos a. dCL. lf un autre côté la composante relative au petit brin varie de même de rte s' cos a' ch', c'està-dire (5): -- (ce s' cos c. dot. Mais comme ce brin agit encore

semble de ces deux pertes forme donc la somme rs(s +s') cos ada,

ou, d'après (5) s',) cos ad«.

Si maintenant on compare les parties gagnées ou perdues sin a

sin a' = s°

s AB.

(6) et (7), on voit qu'elles sont toutes deux proportionnelles à cos a d a. Il suffit donc pour que ces variations se fassent mutuellement équilibre à chaque instant, d'établir

et, en différentiant (5)

donc la somme

cs (s,

c'est-à-dire (1) (4)

Cela posé, appelons p le poids du chariot, vide, et P celui

da minerai. Le poids vertical P 1-p du wagon plein M a pour composante tangentielle (P +p) sin a. Celle-ci gagne donc en arrivant en M, une augmentation de valeur marquée par sa différentielle (P p) cos a d a. En même temps, la composante tangentielle p sin du poids p du wagon vide varie, en descendant en M', de la quantité p cos a'da', c'est-à-dire, d'après la condition (5) qui relie p cos ada. Comme du reste deux points conjugués : elle agit sur la poulie par un moment de sens contraire, on peut dire en d'autres termes que le moment total gagne encore p cos ach. L'ensemble des deux variations forme

sur la poulie par un moment de sens contraire, on peut dire que le moment total perd aussi (te s' cos a d c. L'en-

MM,

(3)

425

cOs

da'

cos c< d a,