Annales des Mines (1886, série 8, volume 9)
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DÉLIMITATION THÉORIQUE DE LA ZONE
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tionnelle à l'effort de traction p par unité de surface; si il y a pression, c'est-à-dire si p < 0, la résistance à la rupture tangentielle s'accroîtra, elle sera diminuée dans le cas contraire, mais dans les deux cas elle sera représentée par la formule c Kp (*), K étant un coefficient
DES AFFAISSEMENTS DUS AUX TRAVAUX DE MINES. 305
or le plus petit des deux angles 20,
a fournis par la
et +
formule (3) est compris entre
c'est-à-dire
que son cosinus est positif et son sinus de même signe
positif, généralement petit. Pour que la rupture par
que sa tangente; donc les deux termes de la dérivée seconde sont négatifs et l'on a bien un maximum. Ce
cisaillement soit possible suivant une direction 0, il est
maximum a pour expression
nécessaire que l'on ait
pg > c Kp ou
(i)
(cos a + K sin a +
71-----11)
= M, P
Kp > c, p9 désignant l'effort tranchant moyen rapporté h l'unité
La formule (3) montre que si la rupture a lieu par
de surface. La rupture se produira donc suivant la direct.
cisaillement, 01 ne dépend que de a, et qu'il est peu in-
pg
tion pour laquelle p, +Ki) sera maximum. Or P (2)
pg
Po
=
P
P. cos0 sin (cc 0) =_- Fh- [sin a sin (20 cos0 cos (a
0) =.
[ cos a + cos (20
d'où pg
Kp
[cos a + K sin a + cos (20 a)
sin (20
égalant à zéro la dérivée de cette expression par rapport
à 0, on a tang (201 a) = (3)
K
tang );
0, =
C
2
A cette formule répondent deux directions 0, faisant entre elles un angle droit ; il est aisé de reconnaître que
c'est la plus petite valeur absolue de 20,a qui rend la fonction maximum, car la dérivée seconde de l'expression considérée est 2P [K sin (20
a) cos (20 )];
(*) Ce serait une erreur de faire intervenir le frottement dans cette formule, le frottement ne commence que quand la cohésion est détruite; il ne peut en rien augmenter l'effort nécessaire pour produire la rupture.
2h;
férieur à 7,-
Supposons, en second lieu, que la rupture se produise par arrachement, il y aura alors glissement de la couche
considérée sur la masse qu'elle supporte, et il faudra tenir compte de la force de frottement F
P cos a tangf ;
de plus, l'effort d'arrachement ne saurait être considéré comme uniformément réparti dans tout le plan AM; il existe une fibre neutre passant par un certain point 0, et toutes les fibres situées entre 0 et M s'allongent proportionnellement à leur distance au point 0, tandis que celles situées entre 0 et A se raccourcissent suivant la même loi; la fibre qui supporte le plus grand effort
d'arrachement est donc celle qui passe en M, et si trD est la valeur de l'effort exercé en ce point, il faudra, pour qu'il y ait rupture, que l'on ait
(i) > c'
pg,
en appelante' le coefficient de résistance à la rupture par traction et admettant, comme précédemment, que cette résistance est modifiée par l'effort tranchant et réduite. de la quantité Kip, proportionnelle à cet effort. Si donc