Annales des Mines (1887, série 8, volume 11)
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SUR LA THÉORIE DU PLANIMÈTRE D'AMSLER.
SUR LA THÉORIE DU PLANIMÈTRE D'AMSLER.
sin. Lorsque, maintenant fixe la pointe C, on fait parcourir à la pointe A un arc de courbe quelconque, on détermine un certain 1.oulement de la roulette ; la valeur de ce roulement et l'aire de certaines surfaces qui dépendent de l'arc de courbe parcouru sont liées par une relation assez simple que nous établirons et d'où se déduit la théorie du planimètre
Quant la pointe A décrit un cercle de roulement, le point de contact de la roulette décrit sur le papier un
Soient (fig. 9, Pl. V) : C le pôle du planimètre, A la pointe mobile, CI, AIB les deux branches du planimètre
.en I.
,
articulées
La roulette a son centre en B à l'extrémité de la bran-
che AIB.
Je désignerai par a la longueur IA, b la longueur IB, c la longueur IC, p le rayon vecteur variable CA. Dans le triangle CIA, on a
ac<p<a+c. Il en résulte que, si l'on décrit deux circonférences du même centre C avec les rayons (a c) et (a + c), la
pointe mobile A se mouvra nécessairement dans l'espace annulaire compris entre ces deux circonférences limites que je représente en ),), et J'appellerai cet espace annulaire la zone d'action du planimètre. Pour que l'on puisse faire suivre à la pointe A un certain arc de courbe,
il faut que cet arc soit tout entier contenu dans cette
zone d'action. Imaginons que la branche CI reste fixe et que la bran-
che AIB tourne autour de l'articulation I. La pointe A décrira un cercle, et la roulette B roulera sans glisser. J'appellerai cercles de roulement tous les cercles qui, lorsqu'ils sont ainsi décrits par la pointe A, conduisent à un mouvement de roulement sans glissement de la roulette.
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cercle concentrique y. Imaginous les trajectoires orthogonales des cercles y. Quand le point de contact de la roulette décrit sur le papier une de ces trajectoires orthogonales, la pointe A décrit une courbe que j'appellerai courbe de glissement : il y a alors glissement sans roulement de la roulette. Construisons la tangente en A à la courbe de glissement qui passe par ce point. Pour cela, déterminons le centre instantané de rotation de la branche AIB lorsque la pointe A décrit un élément de courbe de glissement. Ce centre instantané est le point d'intersection H de la branche IC et de la perpendiculaire à BA menée par le point B. En joignant HA, nous aurons en HA la normale en À à la courbe de glissement. AT perpendiculaire à AH est la tangente en A à cette courbe. Soit CAIB (fig. 10, Pl. Y) la position actuelle du planimètre. Considérons un second planimètre CATB' de mêmes
dimensions que le premier, ayant même pôle C, ayant sa branche CI' dans le prolongement du rayon vecteur CA et ayant son rayon vecteur CÀ' dans le prolongement de
la branche CI. A chaque position du planimètre CAIB correspond une position du planimètre GAIS'. Il est clair que la position du premier planimètre se déduit.de la po-
sition du second, de la même façon que la position du second se déduit de la position du premier. Nous appellerons ces deux planimètres conjugués. Lorsque la pointe A du premier planimètre décrit une courbe, la pointe A' du planimètre conjugué décrit une courbe que nous ap-
pellerons conjuguée de la première. Les points correspondants de ces deux courbes se rapportent à des positions correspondantes des pointes A et A."; nous appelle-
rons ces points conjugués. Enfin nous appellerons surfaces conjuguées et figures conjuguées deux surfaces ou