Annales des Mines (1887, série 8, volume 11)
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SUR LA THÉORIE DU PLANIMÈTRE D'AMSLER.
124 SUR LA THÉORIE DU PLANIMÈTRE D'AMSLER.
deux figures dont tous les points seront deux à deux conjugués.
Une droite passant par le pôle C a évidemment pour conjuguée la circonférence d'un cercle de roulement, et inversement. Un arc de cercle ayant son centre au pôle C a pour conjugué un arc de cercle égal appartenant à la même circonférence.
Deux surfaces conjuguées sont limitées par des courbes de forme différente, mais ont des aires égales. En effet, décomposons ces surfaces conjuguées en tranches courbes infiniment minces par une série de cercles concentriques, de centre C, infiniment rapprochés les uns des autres. Dans les deux surfaces, ces tranches courbes infiniment minces se correspondent et sont conjuguées deux à deux. Deux tranches infiniment minces conjuguées ont évidemment même épaisseur et même longueur, et, par conséquent, ont des aires égales. Cette égalité des aires de deux surfaces conjuguées nous sera utile plus loin. Lorsque la pointe A du planimètre se déplace d'une manière quelconque, le roulement de la roulette correspond à chaque instant à la composante, suivant une perpendiculaire à la branche BA, du chemin suivi par cette
roulette. Établissons l'expression du roulement de la roulette pour un déplacement quelconque de la pointe A. Rapportons les positions de la branche CI à une direction fixe, et appelons w l'angle variable que la branche CI fait avec cette direction fixe.' Appelons O l'angle variable CIB. Considérons d'abord un déplacement infiniment petit de la pointe À du planimètre.
Soient, pour ce déplacement infiniment petit, dz le roulement de la roulette, dO l'accroissement de 0, du l'accroissement de w.
Le déplacement infiniment petit de la pointe A peut
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être décomposé en deux déplacements suivant un cercle de roulement et une courbe de glissement. Soit c/O1, l'accroissement de O relatif au déplacement composant suivant un cercle de roulement. Soit dO" l'accroissement relatif au déplacement composant suivant une courbe de glissement. On a (I)
dO = d0'
d0".
Des deux déplacements composants, un seul fait rouler la roulette : c'est le déplacement suivant un cercle de roulement. Le roulement correspondant dz de la roulette a pour valeur absolue bd O'.
Pour fixer le signe à attribuer à cette valeur, il faut fixer, pour la roulette, le sens des rotations positives. Nous prendrons pour sens positif des rotations de la roulette le sens opposé à celui du mouvement des ai-. guilles d'une montre par rapport à un observateur placé en I. Avec cette convention, nous aurons, en grandeur et en signe, (2)
dz
b do'.
Cherchons maintenant l'expression de a". Pendant le déplacement composant suivant la courbe de glissement, CI tourne autour de C de l'angle dw. La branche BA tourne autour du centre instantané de rotation H d'un angle facile à déterminer : en effet, I décrit pendant ce déplacement l'arc cdc,), et par conséquent l'angle de la rotation autour de H est cdû) OU
c cos Odû)