Révisions de la page | Historique de transcription | Annales des Mines (1887, série 8, volume 11)

228

MÉMOIRE

mÉt moiRE SUR

L'EXTENSION DES PLAQUES ÉLASTIQUE, Par M. PELLETAX, ingénieur des mines.

SUR L'EXTENSION DES PLAQUES ÉLASTIQUES.

229

est très compliquée, parce que les expressions qui entrent en jeu sont des combinaisons de séries dans lesquelles les coefficients successifs ne s'obtiennent chacun que par une intégration spéciale, et comme on ne peut pratiquement en déterminer qu'un nombre très limité, les solutions qu'il indique ne peuvent être considérées que comme approximatives; celles que nous donnons ci-dessous sont d'une application plus facile et conduisent aux résultats exacts. § 1.

Le problème consiste à déterminer l'état d'équilibre d'une plaque d'épaisseur constante, sur la surface latérale de laquelle agissent des forces parallèles aux bases. Cette question a été traitée avec beaucoup de développement par Clebsch (*), auquel nous empruntons les principes qui servent de base à la théorie, Cet auteur considère les corps 'dans lesquels les dimensions transversales sont prépondérantes, et prend comme caractère général des états d'équilibre qu'il étudie, l'absence de toute tension dans une direction normale à leurs bases ; il distingue deux cas : 1° celui de la dilatation simple, dans lequel la variation de densité, résultant de l'application de forces agissant sur la surface, est nulle en tous points du solide ; 2° le cas plus général, où

les pressions latérales étant quelconques, la masse se contracte ou se dilate inégalement. La marelle que Clebsch indique pour les recherches (*) Théorie de l'élasticité des corps solides de Clebsch, avec notes étendues de B. de Saint-Venant, ch. III (Paris, 1885).

Considérons une plaque (fig. 9, Pl. VIII) dont l'épaisseur soit faible par rapport aux autres dimensions, longueur et largeur. Supposons-la horizontale et rapportonsla à trois axes de coordonnées rectangulaires. Les deux premiers OX et OY seront placés dans le plan médian, à égale distance des bases, le troisième sera vertical et leur sera par suite perpendiculaire. Soient le l'épaisseur de la plaque ; x, y, z les coordonnées d'un point du corps u, y et w ses déplacements après l'application des forces ; p,, p, p.., py., p les composantes intérieures y relatives, O la somme du dv. dw dy dz D'après les hypothèses, aucune action

.

ne s'exerce sur les deux bases, et par suite les valeurs de p, A, sont nulles sur toute leur surface ;.. enfin, comme l'on admet qu'il n'y a pas de tension appréciable dans le sens de l'épaisseur, 'la première de ces quantités, .p., est supposée négligeable en tous les points du solide.-

Imaginons une section. idéale, faite dans la plaque par un plan parallèle aux yz-, et sur cette coupe un filet plan vertical fgjk, de largeur infiniment mince ; désignons par P pression normale à cet élément, et par 11)5 l'effort tranchant horizontal qui. s'y exerce. On aura