Annales des Mines (1887, série 8, volume 11)
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MÉMOIRE
ïe4,!
SUR L'EXTENSION DES PLAQUES ÉLASTIQUES.
est le centre du cylindre; un point intérieur quelconque; de la périphérie; les coordonnées de P;
de la plaque et les pressions qui agissent sur son contour
sont quelconques. Isolons dans l'intérieur du corps un cylindre de rayon infiniment petit r, dont le centre sera
celles de M; celles de p., ;
le rayon du cylindre;
l'angle polaire formé par [J.,P avec OX.
Cherchons la valeur de l'intégrale ci-dessus (le premier
membre de l'équation 4), lorsque le point P de coordonnées (x, y) se trouve coïncider, comme nous l'avons supposé, avec le centre du disque. L'expression à calculer s'écrit PXY (11)x
+
d2
dx9
12
1
fiPyy
Pxy (hl) Y
ifà log r da dp.
X
y
E COS W,
ri,
E Sin W,
sin w dw,
La densité étant constante par hypothèse, l'intégrale double a pour valeur us (13 P25). Les deux autres sommations s'effectuent facilement ; leur somme algébrique est
te P. -1- tr P i;s(P
P) =On aura donc', en changeant les signes, ni
da1
c E2
en lui supposant appliquées, outre les forces périphériques, les réactions du petit cylindre ( X, Y,). Les résultats de chacune de ces opérations sont fournis par les formules (4) et (5).
2e P, .
log rdad(3
fY ida,
,
mule, est égal à
1
efforts dont les composantes sont X Y,. Puis nous effectuerons la mêmé somme pour toute la -surface enveloppante, celle qui est marquée sur la figure par des hachures,
cos to do).
On remarquera, sans qu'il soit nécessaire d'insister sur cette discussion de signe, que le d, qui figure dansla for-
E2X
corps, mais en faisant entrer en ligne de compte les efforts qu'exercent sur lui les parois qui l'enserrent,
,
Or
(5) fX1dc1
(fig 12); sur toute son étendue, on pourra considérer les variations des forces élastiques comme négligeables, puisque ses dimensions sont infiniment petites. Nous décomposerons la sommation à effectuer en deux parties ; nous intégrerons d'abord sur toute la surface du disque enclavé, en faisant abstraction de tout le reste du
le point I)
les composantes des forces superficielles en Ili;
f (1),A i
235
s,
Y
logri dAp
dx2
2t-rP.
Pour la seconde portion de surface, comme le point (z, y) n'en fait pas partie f X cb
x P-
11x X, da,
fY da 71
Y P2
f Yi da, "11
--c12 D'A log r *cd@ dx2
e2 Y ----- O.
,
Les intégrales doubles- étant relatives, dans la première équation au disque, et dans la seconde à la surface enveloppante.
D'où, en ajoutant membre à membre
2epyy
Nous pouvons étendre cette formule au cas où la forme
Pyy =fXda L-72p x fYdcs'l
p, Y
(7d22 D'A log r
d2d,
l'intégrale double étant prise sur toute l'étendue de la plaque.